Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2024 – 20 august 2024, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )0,3 0,4 10 2 0,5 8+ ⋅ + ⋅ = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − . Arătați că ( ) ( )1 2 4f f+ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )5 5log 2 1 log 5x + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }11, 21,31,41,51,61,71,81,91A = , acesta
să fie divizibil cu 3 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,1A , ( ),2B m și ( )5,3C , unde m este număr
real. Determinați numărul real m , știind că punctul B este mijlocul segmentului AC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 20BC = și 16AC = . Arătați că perimetrul
triunghiului ABC este egal cu 48.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2 1 1
1
x
A x x
+ 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 2A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )1 5 2 3A A A+ = .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care ( ) ( )1 3X A A⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2 2 5f X mX X= + + − , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )0 5f = − , pentru orice număr real m .
5p b) Determinați numărul real m , știind că 1 este rădăcină a polinomului f .
5p c) Determinați numărul natural m pentru care 2 2 2
1 2 3 5x x x+ + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 1
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
( )22
2
'
1
x
f x
x
=
+
, x ∈ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1x
f x e x= + .
5p a) Arătați că ( )1
0
1
1
f x dx e
x = −
+ .
5p b) Arătați că ( )
1
0
f x dx e= .
5p c) Determinați numărul real a , 1a > , pentru care ( ) ( )
2
3
2
1
2 1
1
a xf x dx e e
x = −
+
 .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )0,3 0,4 10 2 0,5 0,7 10 1+ ⋅ + ⋅ = ⋅ + = 3p
7 1 8= + = 2p
2. ( )1 1f = 2p
( )2 3f = , de unde obținem ( ) ( )1 2 4f f+ = 3p
3. 2 1 5x + = , de unde obținem 2 4x = 3p
2x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Numerele, din mulțimea A , care sunt divizibile cu 3 sunt 21, 51 și 81, deci sunt 3 cazuri
favorabile, de unde obținem 3 1
9 3
p = = 3p
5. 3 5
2
m +
= = 3p
4= 2p
6. 12AB = 3p
48ABCP AB AC BC∆ = + + = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )( ) 3 1
det 1 3 1 1 1
1 1
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
3 1 2= − = 2p
b) ( ) ( ) 3 1 11 1 14 2
1 5 1 1 1 5 2 6
A A      
+ = + = =     
      3p
( )
7 1
2 2 3
1 3 A
 
= = 
  2p
c)
Inversa matricei ( )1A este matricea
1 1
2 2
1 3
2 2
 
− 
 
 − 
 
1 1
7 1 3 22 2
1 3 1 3 1 4
2 2
X
 
−  −   
= =    
−    − 
 
3p
2p
2.a) ( ) 3 2
0 0 0 2 0 5f m= + ⋅ + ⋅ − = 3p
0 0 0 5 5= + + − = − , pentru orice număr real m 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) ( )1 0f =  3 2
1 1 2 1 5 0m+ ⋅ + ⋅ − = 3p
2 0m − = , de unde obținem 2m = 2p
c) 1 2 3x x x m+ + = − , 1 2 1 3 2 3 2x x x x x x+ + = 2p
( ) ( )22 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 32 4x x x x x x x x x x x x m+ + = + + − + + = − , deci 2 4 5m − = și, cum m
este număr natural, obținem 3m = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
22
' '1 1
'
1
x x x x
f x
x
⋅ + − ⋅ +
= =
+
2p
( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
2 1 2 2
1 1
x x x x x
x x
+ − ⋅
= =
+ +
, x ∈ ℝ 3p
b)
( ) 2 2
2 2
2
lim lim lim 1
11 1
x x x
x x
f x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
= = =
 + + 
 
Dreapta de ecuație 1y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f
3p
2p
c) ( )' 0 0f x x= ⇔ = , ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ],0x f∈ −∞  este descrescătoare pe ( ],0−∞ ; 3p
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )0,x f∈ +∞  este crescătoare pe [ )0,+∞ 2p
2.a) ( )1 1
0 0
1
1 0
x xf x dx e dx e
x = = =
+  3p
1e= − 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1 1 1
1 1 1
0 0 0
x x x x x
f x dx e x dx e x e dx e x e= + = + − = + − =   3p
2 1 1e e e= − − + = 2p
c) ( ) ( )
2 2 2 2
2
2
2
1 1 1
2 '2
1 1
a a a
x x x a
axf x dx xe dx e x dx e e e
x = = = = −
+
   3p
( )
2 3 1a
e e e e− = − 2 4a
e e = și, cum 1a > , obținem 2a = 2p