Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2024 – 20 august 2024, varianta 1, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1 4 1
2 4 3
 
+ ⋅ = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 8f x x= − . Determinați numărul real a pentru care ( ) 0f a = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 2 1x − = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }11,12,13,14,15,16,17,18,19,20A = ,
acesta să aibă suma cifrelor egală cu 2 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,4A și ( )6,8B . Arătați că OA AB= .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 12AB = , 8AC = și punctul M mijlocul laturii
AB . Arătați că 10CM = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 1 2
1
x
A x x
− 
=  
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 0A = .
5p b) Arătați că ( ) ( )23 2 5A I A+ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( )( )2det 0A x xI+ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2 1x y x y= + − .
5p a) Arătați că 2 1 5= .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( )1 5x x + = .
5p c) Arătați că 2
4x x x≤ , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2lnf x x x= − .
5p a) Arătați că ( ) 2
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că 2
ln 2 2
x x −  ≤ 
  , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
1
1
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
3
0
1 12dx
f x = .
5p b) Arătați că ( )
3
2
2 ln 2x f x dx = .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )
2
1
1
x
e dx e ae a
f x = − + .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 4 2 1 4
2 4 3 4 4 3
   
+ ⋅ = + ⋅ =   
    2p
3 4 1
4 3
= ⋅ = 3p
2. ( ) 2 8f a a= − , pentru orice număr real a 2p
2 8 0a − = , de unde obținem 4a = 3p
3. 3 2 1x − = , de unde obținem 3 3x = 3p
1x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele, din mulțimea A , care au suma cifrelor egală cu 2 sunt 11 și 20 , deci sunt 2 cazuri
favorabile, de unde obținem 2 1
10 5
p = = 3p
5. 2 2
3 4 5OA = + = 2p
2 2
3 4 5AB = + = , deci OA AB= 3p
6. 6AM = 2p
2 2 10CM AC AM= + = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 2
(2) 1 2
A  
=  
  ( )( ) 1 2
det 2 1 2 1 2
1 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
2 2 0= − = 2p
b)
( ) 2
2 2 2 0 4 2
3 2 1 3 0 2 1 5
A I      
+ = + = =     
      3p
( )
5 1 2 5
1 5 A
− 
= = 
  2p
c)
( ) 2
1 2 0 2 1 2
1 0 1 2
x x x
A x xI x x x
− −     
+ = + =     
      și ( )( ) 2
2det 4 2 2A x xI x x+ = − − , pentru
orice număr real x
3p
2
4 2 2 0x x− − = , de unde obținem 1x = sau 1
2
x = − 2p
2.a) 2 1 2 2 2 1 1= ⋅ + ⋅ − =
 3p
4 2 1 5= + − = 2p
b) ( ) ( )1 2 2 1 1 4 1x x x x x+ = + + − = +
 , pentru orice număr real x 3p
4 1 5x + = , de unde obținem 1x = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 4 1x x x= −
 , pentru orice număr real x 2p
( )22 2 2 2
4 1 4 4 1 4 2 1 4 4x x x x x x x− = − + − + = − − + ≤ , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )' ' 2 ln 'f x x x= − ⋅ = 2p
1 2
1 2 x
x x
−
= − ⋅ = , ( )0,x ∈ +∞ 3p
b) ( )1 1f = , ( )' 1 1f = − 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 2y x= − + 3p
c) ( )' 0 2f x x= ⇔ = ; ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]0,2x f∈  este descrescătoare pe ( ]0,2 ;
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )2,x f∈ +∞  este crescătoare pe [ )2,+∞ 3p
( )2 2 2ln 2f = − , deci ( )2 2ln 2 f x− ≤ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , de unde obținem
2
ln 2 2
x x −  ≤ 
  , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a)
( ) ( )
3 3 3
2
0 0
31 1 3 0
x
dx x dx x
f x
 
= + = + =  
 
  3p
27 3 12
3
= + = 2p
b)
( ) ( ) ( )
23 3 3 2
2 2
2 2 2
31 '2
2 ln 1
1 1 2
xx
xf x dx dx dx x
x x
+
= = = + =
+ +
   3p
ln10 ln 5 ln 2= − = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1
2 2
1 1 2 5 2 2 2 3 2
1 1
x x x x x xe dx e x dx e x xe dx e e xe e e e
f x = + = + − = − − − = −   3p
( ) ( )3 2 1e e e ae a− = − + , de unde obținem 3a = 2p