Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2024 – sesiunea specială, 22 mai 2024, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2 3 2 2 3 2 3 7⋅ + − + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 6f x x= − . Determinați numărul real m pentru care ( ) 3f m = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 2 2
5 5x− = .
5p 4. Prețul unui obiect este 300 de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu 30% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,1A , ( )5,B m și ( )3, 4M . Determinați numărul
real m , știind că punctul M este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Arătați că ( )( )2 sin 45 sin 30 sin 45 sin 30 cos60° + ° ° − ° = ° .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 1
1 0
x
A x x
 
=  
+  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 0A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )3 5 2 4A A A+ = .
5p c) Determinați numerele naturale n pentru care ( )( )2det 0A n I+ ≥ .
2. Se consideră polinomul 3 2
3 1f X X mX= − + − , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )0 1f = − , pentru orice număr real m .
5p b) Arătați că 1 2 3 1 2 33x x x x x x+ + = , pentru orice număr real m , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
5p c) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul 1X − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
( )
2
22
1
'
1
x
f x
x
−
=
+
, x ∈ℝ .
5p b) Arătați că ( )lim 1
x
x f x
→+∞
= .
5p c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 1 x
f x x e= + .
5p a) Arătați că ( )1
0
4
3x
f x dx
e = .
5p b) Demonstrați că funcția :F →ℝ ℝ , ( ) ( )2 2 3 x
F x x x e= − + este o primitivă a funcției f .
5p c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații 0x = și
2x = are aria egală cu ( )2
3 1e − .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 3 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 3 2 3⋅ + − + = + ⋅ − + = 2p
4 3 7= + = 3p
2. ( ) 3 6f m m= − , pentru orice număr real m 3p
3 6 3m − = , de unde obținem 3m = 2p
3. 4 2 2x − = , de unde obținem 4 4x = 3p
1x = 2p
4. 30 300 90
100 ⋅ = de lei 3p
Prețul după ieftinire este 300 90 210− = de lei 2p
5. 1 5
3 2
+
= și 1
4 2
m +
= 3p
7m = 2p
6. 1
sin30 2
° = , 2
sin 45 2
° = , 1
cos60 2
° = 3p
( )( )
2 2
2 1 1
2 sin 45 sin 30 sin 45 sin 30 2 cos60
2 2 2
     ° + ° ° − ° = − = = °        
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 1 0
0 1 0
A  
=  
   ( )( ) 1 0
det 0 1 0 1 0
1 0
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
0 0 0= − = 2p
b)
( ) ( ) 1 3 1 5 2 8
3 5 4 0 6 0 10 0
A A      
+ = + = =     
      3p
( )
1 4
2 2 4
5 0 A
 
= = 
  2p
c)
( ) 2
1 1 0 2
1 0 0 1 1 1
n n
A n I n n
     
+ = + =     
+ +      și ( )( ) ( )2det 2 1A n I n n+ = − + , pentru orice
număr natural n
2p
( )1 2n n + ≤ și, cum n este număr natural, obținem 0n = și 1n = 3p
2.a) ( ) 3 2
0 0 3 0 0 1f m= − ⋅ + ⋅ − = 3p
0 0 0 1 1= − + − = − , pentru orice număr real m 2p
b) 1 2 3 3x x x+ + = 2p
1 2 3 1x x x = , de unde obținem 1 2 3 1 2 33x x x x x x+ + = , pentru orice număr real m 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 9
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( ) 3 2
1 1 3 1 1 1 1 3 1 3f m m m= − ⋅ + ⋅ − = − + − = − , pentru orice număr real m 2p
( )1 0f = , de unde obținem 3m = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2 2
22
'' 1 1
'
1
x x x x
f x
x
⋅ + − ⋅ +
= =
+
3p
( ) ( )
2 2 2
2 22 2
1 2 1
1 1
x x x
x x
+ − −
= =
+ +
, x ∈ℝ 2p
b)
( ) 2 2
2 2
2
lim lim lim 11 1
x x x
x x
x f x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
= = =
 + + 
 
3p
2
1
lim 1
1
1
x
x
→+∞
= =
+ 2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = − și 1x = ; ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ], 1x f∈ −∞ −  este descrescătoare
pe ( ], 1−∞ − ; ( )' 0f x ≥ , pentru orice [ ]1,1x f∈ −  este crescătoare pe [ ]1,1− 3p
( )' 0f x ≤ , pentru orice [ )1,x f∈ +∞  este descrescătoare pe [ )1, +∞ 2p
2.a) ( ) ( ) ( ) 121 1 1 3
2
0 0 0 0
1
1 3
x
x x
x ef x x
dx dx x dx x
e e
+  
= = + = + =  
 
   3p
1 4
1 0 0
3 3
= + − − = 2p
b) Funcția F este derivabilă și ( ) ( ) ( ) ( )2 2
' 2 2 2 3 1x x x
F x x e x x e x e= − + − + = + 3p
( ) ( )'F x f x= , pentru orice număr real x , deci funcția F este o primitivă a funcției f 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 22
0
0 0
1 2 0x
f x dx x e dx F x F F= = + = = − = 
A 3p
( )2 2
3 3 3 1e e= − = − 2p