Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2024 – sesiunea iunie–iulie, 2 iulie 2024, varianta 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 10
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 10
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 12 1 1 2
5 2 3
 
⋅ + = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 5 1f x x= + . Determinați numărul real a pentru care ( ) 6f a = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 1 3x + = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10, 20,30, 40,50,60,70,80,90A = ,
acesta să fie divizibil cu 20 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,0A , ( )8,8B și ( )11, 4C . Arătați că 2AB BC= .
5p 6. Arătați că 1 sin 30 2sin 60 cos30+ ° = ° ⋅ ° .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 1
2 2
x x
A x x
− 
=  
−  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 2A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2 0 2 1A A A+ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( )( )2det 2A x xI+ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )2 4x y x y xy= + − − .
5p a) Arătați că 1 3 1= .
5p b) Arătați că legea de compoziție ,, ” este comutativă.
5p c) Determinați numerele naturale n pentru care 2n n n≥ − .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
2 1x
f x x
−
= .
5p a) Arătați că ( ) ( )
3
2 1
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 1
1
x
f x x x
+
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1 2
0
1 2x x f x dx+ + = .
5p b) Arătați că ( )
1
0
ln 3f x dx = .
5p c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției :g →ℝ ℝ , ( ) ( ) ( )2 1x
g x e x x f x= + + ,
axa Ox și dreptele de ecuații 0x = și 1x = are aria egală cu 1e + .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 10
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 12 1 1 12 3 2
5 2 3 5 6 6
   
⋅ + = ⋅ + =   
    2p
12 5 2
5 6
= ⋅ = 3p
2. ( ) 5 1f a a= + , pentru orice număr real a 2p
5 1 6a + = , de unde obținem 1a = 3p
3. 4 1 9x + = , de unde obținem 4 8x = 3p
2x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Numerele din mulțimea A care sunt divizibile cu 20 sunt 20 , 40 , 60 și 80 , deci sunt 4
cazuri favorabile, de unde obținem 4
9
p = 3p
5. 2 2
3 4 5BC = + = 2p
2 2
6 8 10AB = + = , deci 2AB BC= 3p
6. 1
sin 30 2
° = , 3
sin 60 cos30 2
° = ° = 3p
1 3
1 sin 30 1 2 2
+ ° = + = , 3 3 3
2sin 60 cos30 2 2 2 2
° ⋅ ° = ⋅ ⋅ = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 1 0
1 2 2
A  
=  
−  ( )( ) ( )
1 0
det 1 1 2 2 0
2 2
A = = ⋅ − − ⋅ =
− 3p
2 0 2= − = 2p
b)
( ) ( ) 2 1 0 1 2 0
2 0 4 2 0 2 4 4
A A −     
+ = + = =     
− −      3p
( )
1 0
2 2 1
2 2 A
 
= = 
−  2p
c)
( ) 2
1 0 2 1
2 2 0 2 2
x x x x x
A x xI x x x x
− −     
+ = + =     
− − +      și ( )( ) 2
2det 4 2A x xI x x+ = + , pentru
orice număr real x
3p
2
4 2 2 0x x+ − = , de unde obținem 1x = − sau 1
2
x = 2p
2.a) ( )1 3 2 1 3 1 3 4= + − ⋅ − =
 3p
8 3 4 1= − − = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) ( )2 4y x y x yx= + − − =
 2p
( )2 4x y xy x y= + − − = 
 , pentru orice numere reale x și y , deci legea de compoziție ,, ”

este comutativă 3p
c) 2
4 4n n n n= − −
 , pentru orice număr natural n 2p
2 2
4 4 2 3 2 0n n n n n− − ≥ − ⇔ − + − ≥ și, cum n este număr natural, obținem 1n = și 2n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
4 4
' '2 1 2 1 2 2 2 1
' x x x x x x x
f x x x
− ⋅ − − ⋅ − −
= = = 3p
( )2
4 3
2 12 2 xx x
x x
−− +
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )1 1f = , ( )' 1 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 1y = 3p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = ; ( )' 0f x ≥ , pentru orice ( ]0,1x f∈  este crescătoare pe ( ]0,1 ; 3p
( )' 0f x ≤ , pentru orice [ )1,x f∈ +∞  este descrescătoare pe [ )1, +∞ 2p
2.a)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
2
0 0 0
12 1
1 1 2 1
1 0
x
x x f x dx x x dx x dx x x
x x
+
+ + = + + ⋅ = + = + =
+ +
   3p
1 1 0 0 2= + − − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
'21 1 1 2
2 2
0 0 0
112 1 ln 1
1 1 0
x xx
f x dx dx dx x x
x x x x
+ ++
= = = + + =
+ + + +
   3p
ln 3 ln1 ln 3= − = 2p
c)
( ) ( )2 1x
g x e x= + , x ∈ ℝ , deci ( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1
2 1 2 1 2
0
x x x
g x dx e x dx e x e dx= = + = + − =  
A 3p
( ) 1 1
2 1 2 3 1 2 2 1
0 0
x x
e x e e e e= + − = − − + = + 2p