Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2024 – 20 august 2024, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2 5 5 3 5i i i− + − = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 6f x x m= + , unde m este număr real. Determinați numărul real
m pentru care ( )2 15f = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 2
7 7 7x x+ = ⋅ .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu 1 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,5A și ( )4, 2B . Determinați distanța dintre
punctul A și mijlocul segmentului OB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 5AB = și 5 5BC = . Arătați că 5
sin 5
C = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  , 2 1
1 0
A − 
=  
  și ( ) 3
3 4
x x
B x x x
− 
=  
− −  , unde x este număr
real.
5p a) Arătați că det 1A = .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( )24 4 4B B I aB⋅ + = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )A B x B x A⋅ = ⋅ .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )4x y x y x y∗ = + − − .
5p a) Arătați că 0 3 3∗ = .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care 1 0x ∗ = .
5p c) Determinați numerele naturale n pentru care numărul ( ) ( )5 5N n n= + ∗ − este natural.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) ( )2 2ln 1f x x x x= − − + .
5p a) Arătați că ( ) 2
2 3
' 1
x x
f x x
+ −
= + , ( )1,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Arătați că 2 1
2ln 2
x
x x +
− ≥ , pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 1f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
3
0
3 12f x x dx− = .
5p b) Arătați că
( )( )
1
22
0
1 1
4
dx
f x x
=
−
 .
5p c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției :g →ℝ ℝ , ( ) ( ) 2 1
x
f x x
g x e
− −
= , axa
Ox și dreptele de ecuații 0x = și 1x = este egală cu 2
3 1 e
 
− 
  .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) 2
2 5 5 3 2 5 5 3i i i i i i− + − = − + − = 3p
2 3 5= + = 2p
2. ( )2 12f m= + , deci 12 15m+ = 3p
3m = 2p
3. 2 1 2
7 7x x+ +
= , de unde obținem 2 1 2x x+ = + 3p
1x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 18 numere care au cel puțin una dintre cifre
egală cu 1 , deci sunt 18 cazuri favorabile, de unde obținem 18 1
90 5
p = = 3p
5. ( )2,1M este mijlocul segmentului OB 3p
4AM = 2p
6. 5
sin 5 5
AB
C BC
= = = 3p
1 5
55
= = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
2 1
det 2 0 1 1
1 0
A −
= = ⋅ − − ⋅ = 3p
0 1 1= + = 2p
b)
( ) 4 1
4 1 0
B  
=  
−  , ( ) ( ) 15 4
4 4 4 1
B B  
⋅ =  
− −  3p
( ) ( ) ( )2
16 4
4 4 4 4
4 0
B B I B
 
⋅ + = = 
−  , deci ( ) ( )4 4 4B aB= , de unde obținem 4a = 2p
c)
( ) 3 3 2
3
x x
A B x x x
− − 
⋅ =  
−  , ( ) 3 3
2 3
x x
B x A x x
− − 
⋅ =  
− + −  , pentru orice număr real x 3p
Cum 3 3 2 3 3
3 2 3
x x x x
x x x x
− − − −   
=   
− − + −    , obținem 1x = 2p
2.a) ( )( )0 3 0 3 4 0 3∗ = + − − = 3p
3 1 3= ⋅ = 2p
b) ( )( )1 1 3x x x∗ = + − , pentru orice număr real x 2p
( )( )1 3 0x x+ − = , de unde obținem 1x = − sau 3x = 3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( ) ( )5 5 4 2n n n n+ ∗ − = − , pentru orice număr natural n 2p
Cum n și ( )4 2N n n= − sunt numere naturale, obținem 0n = , 1n = și 2n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
' 2 1 1
f x x x
= − − =
+ 3p
2 2
2 2 1 2 2 3
1 1
x x x x x
x x
+ − − − + −
= =
+ + , ( )1,x ∈ − +∞ 2p
b) ( )0 0f = , ( )' 0 3f = − 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 3y x= − 3p
c) ( )' 0 1f x x=  = ; pentru orice ( ]1,1x ∈ − , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ]1,1−
și, pentru orice [ )1,x ∈ +∞ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞ 2p
Pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ , ( ) ( )1f x f≥ și, cum ( )1 2ln 2f = − , obținem 2 1
2ln 2
x
x x +
− ≥ ,
pentru orice ( )1,x ∈ − +∞
3p
2.a)
( )( ) ( )
3 3 3
2
0 0
3
3 1 3 0
x
f x x dx x dx x
 
− = + = + =  
 
  3p
27 3 12
3
= + = 2p
b)
( )( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1 1
2 2 22
0 0 0
13 1 '1 1 1 1
3 3 3 1 03 1 3 1
x
dx dx dx xx xf x x
+
= = = − =
++ +−
   3p
1 1 1
12 3 4
= − + = 2p
c)
( ) 3 x
g x xe−
= , x ∈ℝ , deci ( ) ( )
1 1
0 0
3 'x
g x dx x e dx−
= = − = 
A 2p
( ) 1 2
3 1 3 1
0
x
e x e
−  
= − + = − 
  3p