Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2024 – sesiunea specială, 22 mai 2024, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )6 2 5 5 2 5 1− + ⋅ − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )1 0f a f+ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1 2 2
10 10 10x x− −
= ⋅ .
5p 4. Determinați câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din
mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6A = , au ambele cifre pare.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,6A și ( )6,0B . Determinați distanța dintre
punctele B și M , unde punctul M este mijlocul segmentului OA .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 6AC = și aria egală cu 24 . Arătați că 8AB = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 1
1 2
A  
=  
 
și ( ) 1 4
2 4 3
x x
B x x x
+ + 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 1A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( )( )det B x xA x− = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )2 2B x B x A A A+ + = ⋅ ⋅ .
2. Se consideră polinomul 3 2 2 4f X mX X= + − − , unde m este număr real.
5p a) Pentru 6m = , arătați că ( )1 1f = .
5p b) Determinați numărul real m pentru care ( )2
1 2 3 1 2 3 1 2 3x x x x x x x x x= + + + , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
5p c) Determinați rădăcinile polinomului f , știind că restul împărțirii lui f la polinomul 2X − este
egal cu 8 .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
3 ln
x
f x x
x
−
= + .
5p a) Arătați că ( ) 2
3
6
' x x
f x x
+ −
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că ( )( )lim ln 0
x f x x
→+∞ − = .
5p c) Arătați că ( )4 1 ln16f x − ≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția ( ): 3,f − +∞ → ℝ , ( ) 1
3 3
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( )
4
2
1 18
3
f x dx
x
 
− = 
+ 
 .
5p b) Arătați că ( )( )
6
1
3 2f x x dx− = .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )
1
2
1 1 9 2ln 2
3 3
f x dx a
x x−
 
− = − + + 
 .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )6 2 5 5 2 5 6 2 5 2 5 5 5− + ⋅ − = − + − ⋅ = 2p
6 5 1= − = 3p
2. ( ) 2 3f a a= − , ( )1 1f = − 3p
2 3 1 0a − − = , de unde obținem 2a = 2p
3. 1 2 2
10 10x x− − +
= , de unde obținem 1 2 2x x− = − + 3p
1x = 2p
4. Cifra zecilor se poate alege în 3 moduri 3p
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 2 moduri, deci sunt
3 2 6⋅ = numere 2p
5. ( )2,3M 2p
5BM = 3p
6.
2
ABC
AB AC
∆
⋅
=
A , deci 6
24 2
AB ⋅
= 3p
24 2 8
6
AB ⋅
= = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 1
det 1 2 1 1
1 2
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
2 1 1= − = 2p
b) ( ) 1 4
2 3
B x xA x x
 
− =  
− 
, de unde obținem ( )( )det 2 3B x xA x− = − − , pentru orice număr
real x
3p
2 3x x− − = , de unde obținem 1x = − 2p
c) 2 3
3 5
A A  
⋅ =  
 
, 10 16
2 16 26
A A A  
⋅ ⋅ =  
  3p
( ) ( ) 2 4 2 10
2 4 4 8 2
x x
B x B x x x
+ + 
+ + =  
+ + 
, deci 2 4 2 10 10 16
4 4 8 2 16 26
x x
x x
+ +   
=   
+ +   
și obținem 3x = 2p
2.a) ( )3 2 3 2
6 2 4 1 1 6 1 2 1 4f X X X f= + − −  = + ⋅ − ⋅ − = 3p
1 6 2 4 1= + − − = 2p
b) 1 2 3x x x m+ + = − , 1 2 3 4x x x = 2p
16 4m= − + , de unde obținem 12m = − 3p
c) ( )2 8 4 8f m=  = , de unde obținem 2m = 2p
( )( )( )3 2
2 2 4 2 2 2f X X X X X X= + − − = + − + , deci rădăcinile polinomului f sunt
2− , 2− și 2
3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )2
4
2 3 1
' x x x
f x xx
− − −
= + = 3p
2
3 3
6 1 6x x x
xx x
− + −
= + = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )( ) 2 2 2
3 3
lim ln lim lim
x x x
x x
f x x x x x→+∞ →+∞ →+∞
−  
− = = − = 
  3p
2
3 1
lim 0
x xx→+∞
 
= − = 
  2p
c) ( )' 0 2f x x=  = ; pentru orice ( ]0, 2x ∈ , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ]0, 2 și,
pentru orice [ )2,x ∈ +∞ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ )2, +∞ 3p
( ) ( )2f x f≥ , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ și, cum ( ) 1
2 ln 2
4
f = + , obținem ( )4 1 ln16f x − ≥ ,
pentru orice ( )0,x ∈ +∞
2p
2.a)
( )
4 4 2
2 2
41 3
3 23 2
x
f x dx xdx
x
 
− = = = 
+ 
  3p
48 12 18
2 2
= − = 2p
b)
( )( ) ( )6 6 6
1 1 1
63 '1
3 2 2 3
3 2 3 1
x
f x x dx dx dx x
x x
+
− = = = + =
+ +
   3p
6 4 2= − = 2p
c)
( ) ( ) ( )
1 1
2 2
1 11 1 9
3 3 9ln 3 9 1 ln 4
3 33 2 2
f x dx dx x x
x xx− −
   
− = − = − + = −  
+ ++    − −
  3p
( ) ( )9 1 2ln 2 9 2ln 2a− = − , de unde obținem 1a = 2p