Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2024 – sesiunea iunie–iulie, 2 iulie 2024, varianta 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 1a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , în care 2 8a = și 3 12a = .
5p 2. Se consideră funcția ( ): , 3 2f f x x→ = −ℝ ℝ . Determinați numărul real m pentru care ( )f m m= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2
6 6log 9 log 5x− = .
5p 4. Se consideră mulțimea { }0,1, 2, ,9A = … . Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din
mulțimea A , numărul 2 1n + să aparțină mulțimii A .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,0A , ( )4, 4B și ( )5, 2C . Arătați că triunghiul
ABC este dreptunghic în C .
5p 6. Se consideră expresia ( ) 2
3
2sin cos sin
2 4
x x
E x x  
= ⋅ +  
  . Arătați că 2
3
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 0
0 4
A  
=  
 
și ( ) 1
3 4 1
a a
B a a a
+ 
=  
− − 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 7B = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2 0 1 4B B B A− ⋅ = .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care matricea ( ) ( )C a B a aA= − nu este inversabilă.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 3 6x y xy x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 2 2 0∗ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 6x x∗ = .
5p c) Determinați mulțimea numerelor reale x pentru care ( )2 2x x∗ ∗ ≥ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2
4
x
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )
2
22
2 4
'
4
x
f x
x x
−
=
+ +
, x ∈ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Arătați că ( ) ( )4 1f x f x− − ≤ , pentru orice [ )4,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 3
1
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
0
1 8x f x dx+ = .
5p b) Arătați că ( )
1
0
1 2ln 2f x dx = + .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( )
2 2
1
1 x
x e f x dx e e a− = + .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Rația progresiei este 3 2 4r a a= − = 3p
1 2 4a a r= − = 2p
2. ( ) 3 2f m m= − , pentru orice număr real m 2p
3 2m m− = , de unde obținem 1m = 3p
3. 2
9 5x− = , de unde obținem 2 4 0x − = 2p
2x = − sau 2x = , care convin 3p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele n din mulțimea A pentru care 2 1n + aparține mulțimii A sunt 0 și 4 , deci sunt
2 cazuri favorabile, de unde obținem 2 1
10 5
p = = 3p
5. 1
2
ACm = 2p
2 1BC AC BCm m m= −  ⋅ = − , deci triunghiul ABC este dreptunghic în C 3p
6. 3
sin 3 2
π = , 3
cos 6 2
π = , 2
sin 4 2
π = 3p
3 3 2
2 2
3 2 2 4
E
π  = ⋅ ⋅ + = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
1 2 1 2
1 det 1 1 3 2 2
2 3 2 3
B B
 
=  = = ⋅ − ⋅ − = 
− −  3p
3 4 7= + = 2p
b) ( ) 0 1
0 3 1
B  
=  
− − 
, ( ) ( ) 2 3
0 1 1 9
B B − 
⋅ =  
− −  3p
( ) ( ) ( ) 4 0
2 0 1 4
0 16
B B B A
 
− ⋅ = = 
  2p
c) ( ) ( )( ) ( )( )
0 1 det 3 1
3 1
a
C a C a a a
a
+ 
=  = − − + 
− − 
, pentru orice număr real a 3p
( )( )det 0C a = , de unde obținem 1a = − sau 3a = 2p
2.a) 2 2 2 2 2 2 3 2 6∗ = ⋅ − ⋅ − ⋅ + = 3p
4 4 6 6 0= − − + = 2p
b) 6 4 12x x∗ = − , pentru orice număr real x 3p
4 12x x− = , de unde obținem 4x = 2p
c) 2 2x x∗ = − , ( ) 2
2 3x x x x∗ ∗ = − + , pentru orice număr real x 2p
2 2
3 2 3 2 0x x x x− + ≥ ⇔ − + − ≥ , de unde obținem [ ]1, 2x ∈ 3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 10
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2
22
2 4 2 2 1
'
4
x x x x
f x
x x
+ + − +
= =
+ +
3p
( )
( )
( )
22
2 22 2
2 48 2
4 4
xx
x x x x
−−
= =
+ + + +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 2
2
2 2
lim lim lim 0
1 44 1
x x x
x
f x x x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
= = =
 + + + + 
 
3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 0 2f x x=  = − sau 2x = ; pentru orice ( ], 2x ∈ −∞ − , ( )' 0f x ≤ , deci f este
descrescătoare pe ( ], 2−∞ − ; pentru orice [ ]2,2x ∈ − , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe
[ ]2, 2− ; pentru orice [ )2,x ∈ +∞ , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe [ )2, +∞
2p
[ ) ( ]4, 4 ,0x x∈ +∞  − ∈ −∞ , deci ( ) ( )4f x f≤ și ( ) ( )4 2f x f− ≥ − și, cum ( ) 2
2 3
f − = −
și ( ) 1
4 3
f = , obținem ( ) ( )4 1f x f x− − ≤ , pentru orice [ )4,x ∈ +∞
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
2 2 2
0 0
2
1 3 3
2 0
x
x f x dx x dx x
 
+ = + = + =  
 
  3p
2 6 8= + = 2p
b)
( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1 13 2
1 2ln 1
1 1 0 0
x
f x dx dx dx x x
x x
+  
= = + = + + = 
+ + 
   3p
1 2ln 2 2ln1 1 2ln 2= + − = + 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1 1
2
1 2 3 3 2
1
x x x
x e f x dx x x e dx x e e e− = + − = − = +  3p
( ) 2 2e e a e e+ = + , de unde obținem 2a = 2p