Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2024 – sesiunea iunie–iulie, 2 iulie 2024, varianta 8, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2 1,2 0,1 0,4 3⋅ + + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )2f a f a− = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2
8 8log 5 5 logx x x− + = .
5p 4. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii
{ }1, 3, 4, 6, 8A = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,8A , ( )4, 2B și C , mijlocul segmentului OA .
Determinați coordonatele mijlocului segmentului BC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 8AB = și 4
C
π
= . Arătați că aria triunghiului
ABC este egală cu 32 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
, 1 3
1 3
A  
=  
 
și ( ) 2 2
4
x x
B x x x
− − 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 5 12B = .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )( )4 2B B A aA− ⋅ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( )( )2det 4 0A B x xI⋅ − = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( ) ( )2 2x y x x y y= − + − .
5p a) Arătați că 3 3 6= .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 2
2 2x x= + .
5p c) Arătați că 2x y ≥ − , pentru orice numere reale x și y .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1
2 3f x x x
= − − .
5p a) Arătați că ( ) 2
1
' x x
f x x
+
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că funcția f este bijectivă.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
4
1
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2 2
1
1 6x f x dx+ = .
5p b) Arătați că ( )
3
2
2ln 2f x dx = .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Determinați ( )1,m∈ +∞ pentru care ( ) 3
1
6
m f x dx
x
 
  =
 
 
 .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 8
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2 1,2 0,1 0,4 2 1,3 0,4⋅ + + = ⋅ + = 2p
2,6 0, 4 3= + = 3p
2. ( ) 2 1f a a= + , ( )2 5f = 2p
2 1 5a a+ − = , de unde obținem 4a = 3p
3. 2 5 5x x x− + = , de unde obținem 2 6 5 0x x− + = 2p
1x = sau 5x = , care convin 3p
4. Cifra unităților se poate alege în 2 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se
pot forma 2 4 8⋅ = numere 3p
5. ( )0,4C 2p
Mijlocul segmentului BC are coordonatele ( )2,3 3p
6. 8AC = 3p
8 8 32
2
ABC∆
⋅
= =
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
3 3 3 3
5 det 5 3 5 3 1
1 5 1 5
B B
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
15 3 12= − = 2p
b) ( ) ( ) 2 2 0 0 2 2
4 2 0 4 2 2 2 2
B B      
− = − =     
−     
, ( ) ( )( ) 4 12
4 2 4
4 12
B B A A
 
− ⋅ = = 
  3p
4A aA= , de unde obținem 4a = 2p
c) ( ) 4 14 4 2
4 14 4 2
x x
A B x x x
− − 
⋅ =  
− − 
, ( ) 2
14 4 2
4 4 14 2
x
A B x xI x
− − 
⋅ − =  
− − 
, de unde obținem
( )( ) ( )2det 4 16 4A B x xI x x⋅ − = − − , pentru orice număr real x
3p
( )16 4 0x x− − = , de unde obținem 0x = sau 4x = 2p
2.a) ( ) ( )3 3 3 3 2 3 3 2= − + − =
 3p
3 3 6= + = 2p
b) 2
2 2x x x= −
 și obținem 2 2x− = 3p
1x = − 2p
c) 2 2
2 2x y x x y y= − + − =
 2p
( ) ( )2 22 2
2 1 2 1 2 1 1 2 2x x y y x y= − + + − + − = − + − − ≥ − , pentru orice numere reale x și y 3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 8
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
1 1
'f x x x
= + = 3p
2 2
1 1x x x
x x x
+
= + = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )1 2f = − , ( )' 1 2f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 2 4y x= − 3p
c) ( )' 0f x > , pentru orice ( )0,x f∈ +∞  este strict crescătoare pe ( )0,+∞ , deci f este
injectivă 2p
( )
0
lim
x f x
→ = −∞ , ( )lim
x f x
→+∞ = +∞ și f este continuă, deci f este surjectivă, de unde obținem
că f este bijectivă 3p
2.a)
( ) ( )
2 2
2 2
1 1
2
1 4 2
1
x f x dx xdx x+ = = =  3p
8 2 6= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
23 3 3 2
2 2
2 2 2
' 314 2 2ln 1
1 1 2
xx
f x dx dx dx x
x x
+
= = = + =
+ +
   3p
2ln10 2ln 5 2ln 2= − = 2p
c) ( )
( ) ( ) ( )
3
3 2 2
1 1
64 32 32 8
11 1 1
m m mf x dx dx
x x x m
 
  = = − = − +
  + + +
 
  3p
( )2
32 8 6
1m
− + =
+
și, cum ( )1,m∈ +∞ , obținem 3m = 2p