Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2024 – 20 august 2024, varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 1a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , cu 2 14a = și 3 18a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= + . Arătați că ( )( )5 9f f = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 2 3
2 1 1x x x+ + = − .
5p 4. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele
mulțimii { }1, 2, 3, 7, 9A = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctul ( )2,1A . Determinați coordonatele punctului B
pentru care 2AB OA=
  .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 12BC = și 2
BC
AB = . Arătați că aria
triunghiului ABC este egală cu 18 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele
0 0 0
0 1 0
0 0 1
A
 
 
=  
 
 
și ( )
2 0 0
0 1
0 1
x
B x x
x
 
 
=  
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 0B = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )B x B y B x y xyA⋅ − + = , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1B x B x B x B xA⋅ + − ⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2 2f X aX X a= + + + − , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )1 4f = , pentru orice număr real a .
5p b) Pentru 2a = , determinați rădăcinile polinomului f .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( )( )( )2 2 2
1 1 2 2 3 3 4x x x x x x− − − = , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 2
2 x
f x x e= − .
5p a) Arătați că ( ) ( )2 2
' 2 2x
f x e x x= + − , x ∈ℝ .
5p b) Calculați ( )
( )
lim 'x
f x
f x→+∞
.
5p c) Determinați imaginea funcției f .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 4 2
6 1f x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
1 2
1
12
6 5
f x x dx
−
− = .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
6 3
1
ln 6
1 2
x dx
f x =
− .
5p c) Arătați că ( ) ( )( )30 0
1
lim 2 6
x
x f t f t dt
x→
 
 − =
 
 
 .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3 1
2
18
14
2 2
a a a
a + +
=  = 3p
1 10a = 2p
2. ( )5 7f = 2p
( )( ) ( )( ) ( )5 5 7 9f f f f f= = =
 3p
3. 2 2 1 1x x x+ + = − , de unde obținem 2 3 0x x+ = 3p
3x = − sau 0x = 2p
4. Cifra unităților se poate alege în 4 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se
pot forma 4 4 16⋅ = numere 3p
5. 2OA i j= +
   , ( ) ( )2 1B BAB x i y j= − + −
   , unde ( ),B BB x y 3p
( ) ( )2 1 4 2B Bx i y j i j− + − = +
    , de unde obținem 6Bx = și 3By = 2p
6. 6AB = , 6 3AC = 2p
6 6 3 18 3
2
ABC∆
⋅
= =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 0 0 2 0 0
1 0 1 1 det 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1
B B
 
 
=  = = 
 
 
2p
2 0 0 0 2 0 0= + + − − − = 3p
b)
( ) ( ) ( )
2 0 0 2 0 0
0 1 0 1
0 1 0 1
x y x y
B x B y B x y xy y x x y
x y xy x y
+ +   
   
⋅ − + = + + − + =   
   + + +
   
3p
0 0 0
0 0
0 0
xy xyA
xy
 
 
= = 
 
 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 1B x B x B x x x A⋅ + = + + + , ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2B x B B x xA⋅ = + + , de unde obținem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 1B x B x B x B x x A⋅ + − ⋅ = − , pentru orice număr real x
3p
( )2
x x A xA− = , de unde obținem 0x = sau 2x = 2p
2.a) ( ) 3 2
1 1 1 1 2f a a= + ⋅ + + − = 3p
1 1 2 4a a= + + + − = , pentru orice număr real a 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( )3 2 2
2 2 1f X X X X X X= + + = + + 2p
Rădăcinile polinomului sunt 1 2 1x x= = − și 3 0x = 3p
c) 1 2 3 2x x x a= − + , ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 31 1 1 2 1x x x x x x x x x x x x a f− − − = − − − = − + 3p
( )4 2 4a− + = , de unde obținem 3a = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2' '' 2 2x x
f x x e x e= − + − = 2p
( ) ( )2 2 2 2 2
2 2 2 2 2x x x
xe x e e x x= + − ⋅ = + − , x ∈ℝ 3p
b)
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
2
1
2
lim lim lim 1 2' 2 2 2 1
x x x
x
f x x x
f x x x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
− −  = = =
 + − + − 
 
3p
2
2
2
1 1
lim 1 2 2
2 1
x
x
x x
→+∞
−
= =
 
+ − 
 
2p
c) ( )' 0 2f x x= ⇔ = − sau 1x = ; pentru orice ( ], 2x ∈ −∞ − , ( )' 0f x ≥ , deci f este
crescătoare pe ( ], 2−∞ − ; pentru orice [ ]2,1x ∈ − , ( )' 0f x ≤ , deci f este descrescătoare pe
[ ]2,1− și pentru orice [ )1,x ∈ +∞ , ( )' 0f x ≥ , deci f este crescătoare pe [ )1, +∞
3p
Cum ( )lim 0
x f x
→−∞ = , ( )lim
x f x
→+∞ = +∞ , ( ) 2
1f e= − și f este continuă, imaginea funcției
f este )2 ,e− +∞

2p
2.a)
( )( ) ( )
1 1 5
2 4
1 1
1
6 1 5 1
x
f x x dx x dx x
− −
 
− = + = + =   − 
  3p
1 1 12
1 1
5 5 5
= + + + = 2p
b)
( )
( ) ( )
26 6 63 2
2 2
1 1 1
66 '1 1 ln 6
1 2 26 6 1
xx x
dx dx dx x
f x x x
+
= = = + =
− + +
   3p
ln 42 ln 7 ln 6
2 2 2
= − = 2p
c)
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )0
3 230 0 0
0
'
2
21
lim 2 lim lim 3'
x
x
x x x
f t f t dt
f x f x
f t f t dt
x xx→ → →
 
 −
   −  − = = =
 
 

 3p
( )
4 2 2
20 0
15 18
lim lim 5 6 6
3x x
x x x
x→ →
+
= = + = 2p