Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2024 – sesiunea specială, 22 mai 2024, varianta 9

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 3a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , în care 1 2a = și 2 12a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 8f x x= − . Determinați numărul real m pentru care
( )1 1f m m+ = − .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2
lg 3 5 lg 5x x− + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
numărul 1n + să fie natural.
5p 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 2A , ( )3,0B și ( )5,C a , unde a este număr
real. Determinați numărul real a , știind că dreptele OA și BC sunt paralele.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 9AC = și 3
B
π
= . Arătați că 3 3AB = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1
0 0 1
1 1
x x
A x x
x
 
 
= − 
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 3A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )1 2A x A A x⋅ = .
5p c) Arătați că, dacă matricea ( )A x este inversabilă, atunci și matricea ( )A x− este inversabilă.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 2 2 1
4
x y
x y xy + −
= + .
5p a) Arătați că 7
1 1 4
= .
5p b) Arătați că 1
2
e = este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Determinați numerele reale x pentru care 2 21 1 1 1
2 2 2 2
x x x x
     
− + + = −     
     
  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) ( )
3
2
4
1
x
f x
x
=
−
.
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )
2
3
4 3
'
1
x x
f x
x
−
=
−
, ( )1,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Arătați că ecuația ( )f x m= are exact două soluții, pentru orice ( )27,m ∈ +∞ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 1 lnf x x x x= + + .
5p a) Arătați că ( )( )
3
1
ln 6f x x x dx− = .
5p b) Arătați că ( )( ) 2
1
1
1 4
e e
f x x dx +
− − = .
5p c) Determinați numărul real nenul a pentru care volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox
a graficului funcției [ ]: 1,3g → ℝ , ( ) ( )( )2
1
ln
g x
f x x x
=
−
este egal cu 7
24a
π .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 9
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 3 3
2
2
12
2 2
a a a
a + +
=  = 3p
3 22a = 2p
2. ( )1 7f m m+ = − , pentru orice număr real m 2p
7 1m m− = − , de unde obținem 4m = 3p
3. 2 3 5 5x x− + = , de unde obținem 2 3 0x x− = 3p
0x = sau 3x = , care convin 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 7 numere n pentru care numărul 1n +
este natural, deci sunt 7 cazuri favorabile, de unde obținem 7
90
p = 3p
5. 2OAm = 2p
2
BC
a
m = și, cum OA BCm m= , obținem 4a = 3p
6. tg AC
B AB
= , deci 9
3 AB
= 3p
9 3 3
3
AB = = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 2 2 1 2 2
2 0 0 1 det 2 0 0 1
2 1 1 2 1 1
A A
 
 
=  = = 
 
 
2p
0 0 4 0 1 0 3= + + − − − = 3p
b)
( )
1 1 1
1 0 0 0
1 1 1
A
 
 
=  
 
 
, ( ) ( )
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
x x x
A x A x x x
x x x
+ + + 
 
⋅ = − − − 
 + + + 
, pentru orice număr real x 3p
1 1 1 2 2 2
1 1 1 0 0 2 2
1 1 1 2 2 2
x x x x x
x x x x
x x x x
+ + +   
   
− − − = −   
   + + +   
, de unde obținem 1x = 2p
c) ( )( ) ( ) ( )2
det 1 1A x x x= − + și ( )( )det 0A x ≠ , deci { }\ 1,1x ∈ −ℝ 3p
Cum { }\ 1,1x− ∈ −ℝ , obținem ( )( )det 0A x− ≠ , deci ( )A x− este inversabilă 2p
2.a) 2 1 2 1 1
1 1 1 1 4
⋅ + ⋅ −
= ⋅ + = 3p
3 7
1 4 4
= + = 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 9
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) 1
2 2 1
1 1 2
2 2 4 2 2
x x x
x x x
+ ⋅ −
= ⋅ + = + = , pentru orice număr real x 2p
1
2 2 1
1 1 2
2 2 4 2 2
x x x
x x x
⋅ + −
= ⋅ + = + = , pentru orice număr real x , deci 1
2
e = este elementul
neutru al legii de compoziție „  ”
3p
c) 21 1 1
2 2 2
x x x
   
− + = −   
   
 , 2 41 1 1 1
2 2 2 2
x x x x
     
− + + = −     
     
  , pentru orice număr real x 2p
4 21 1
2 2
x x− = − , de unde obținem 1x = − sau 0x = sau 1x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
22 3
4
12 1 4 2 1
'
1
x x x x
f x
x
− − ⋅ −
= =
− 3p
( )
( )
( )
23 2 3
3 3
4 312 12 8
1 1
x xx x x
x x
−− −
= =
− −
, ( )1,x ∈ +∞ 2p
b) ( )
( )
2
2
4
lim lim 4
1x x
f x x
x x→+∞ →+∞
= =
− 2p
( )( ) ( )
2
2
8 4
lim 4 lim 8
1x x
x x
f x x
x→+∞ →+∞
−
− = =
−
, deci dreapta de ecuație 4 8y x= + este asimptota
oblică spre +∞ la graficul funcției f
3p
c) ( )' 0 3f x x=  = ; ( )' 0f x < , pentru orice ( )1,3x ∈ , deci f este strict descrescătoare pe
( )1,3 și ( )' 0f x > , pentru orice ( )3,x ∈ +∞ , deci f este strict crescătoare pe ( )3, +∞ 2p
( )
1
lim
x f x
→ = +∞ , ( )3 27f = , ( )lim
x f x
→+∞ = +∞ și f este continuă, deci ecuația ( )f x m= are
exact două soluții pentru orice ( )27,m ∈ +∞ 3p
2.a)
( )( ) ( )
3 3 2
1 1
3
ln 1 2 1
x
f x x x dx x dx x
 
− = + = + =  
 
  3p
15 3 6
2 2
= − = 2p
b)
( )( ) 2 2 2
1 1
'
1 ln ln
2 2 41 1
e e e ex x x
f x x dx xdx x
 
− − = = − =  
 
  3p
2 2 2
1 1
2 4 4 4
e e e +
= − + = 2p
c)
( ) ( )2
1
1
g x
x
=
+
, [ ]1,3x ∈ , deci ( ) ( ) ( )
3 3
2
4 3
1 1
31 1 7
19211 3 1
V g x dx dx
x x
π
π
π
π  
 = = = − =
 + + 
  3p
7 7
192 24a
π π
= , de unde obținem 8a = 2p