Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2024 – sesiunea iunie–iulie, 2 iulie 2024, varianta 10

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 2lg100 lg 2 lg 5 5+ + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 6f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )3 0f a f a+ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 2
5 5 5x x
⋅ = .
5p 4. Determinați câte submulțimi cu două elemente, ambele numere pare, are mulțimea
{ }1, 2, 4, 6, 8,9A = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,1A și ( )3,0B . Determinați coordonatele
punctului C pentru care AC OB=
  .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu aria egală cu 18 și 4
B
π
= . Arătați că 6AB = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
0 0
0 2
0 2 2
x
M x x x
x x
 
 
= + 
 + 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 7M = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )2 1M x M M x⋅ = − .
5p c) Determinați numerele naturale n pentru care ( )( ) ( )( )2det det 2M n M n≤ .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 2f X X aX a= − − + , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )2 0f = , pentru orice număr real a .
5p b) Pentru 1a = , arătați că polinomul f este divizibil cu polinomul 1g X= + .
5p c) Determinați ( )0,a ∈ +∞ pentru care 1 2 3 8x x x+ + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( ) 2
2 4 2 4x
f x e x x x= − + − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 2 1 1x
f x x e= − + , x ∈ℝ .
5p b) Arătați că ( )
0
lim 4
1 xx
f x
e→
=
− .
5p c) Arătați că ecuația ( ) 0f x = are exact două soluții.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
4
3 1
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( )( )
4 2
3
3 1 14f x x dx+ = .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
1
0
4 ln 2
3
f x dx = .
5p c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției ( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) ( )
4ln x
g x f x
= , axa
Ox și dreptele de ecuații 1x = și x e= este egală cu
2
3 5
4
e + .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 10
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 10
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2lg100 lg 2 lg 5 2 2 lg10+ + = ⋅ + = 3p
4 1 5= + = 2p
2. ( ) 6f a a= − , ( )3 3 6f a a= − 3p
6 3 6 0a a− + − = , de unde obținem 3a = 2p
3. 3 2
5 5x x+ = , de unde obținem 3 2x x+ = 3p
1x = − 2p
4. În mulțimea A sunt 4 numere pare 2p
Sunt 2
4
4! 6
2! 2!
C = =
⋅ submulțimi cu două elemente, ambele numere pare 3p
5. ( ) ( )3 1C CAC x i y j= − + −



   , 3OB i=



  3p
( ) ( )3 1 3C Cx i y j i− + − =
   , de unde obținem 6Cx = și 1Cy = 2p
6. AB AC= 2p
18
2
AB AB⋅ = , deci 2 36AB = , de unde obținem 6AB = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 0 0 1 0 0
1 0 3 1 det 1 0 3 1
0 2 3 0 2 3
M M
 
 
=  = = 
 
 
2p
9 0 0 0 0 2 7= + + − − − = 3p
b)
( )
2 0 0
2 0 4 2
0 4 4
M
 
 
=  
 
 
, ( ) ( )
2 0 0
2 0 8 8 6 4
0 12 8 8 8
x
M x M x x
x x
 
 
⋅ = + + 
 + + 
, pentru orice număr real x 3p
2 0 0 1 0 0
0 8 8 6 4 0 1 1
0 12 8 8 8 0 2 2 1
x x
x x x x
x x x x
−   
   
+ + = + −   
   + + − +   
, de unde obținem 1x = − 2p
c) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
det 4 4 , det 2 2 4 8 4M n n n n M n n n n= − + + = − + + , pentru orice număr
natural n
2p
( ) ( )2 2
2 4 4 2 4 8 4n n n n n n− + + ≤ − + + , de unde obținem ( )2 3 4 0n n − ≤ și, cum n este
număr natural, obținem 0n = și 1n =
3p
2.a) ( ) 3 2
2 2 2 2 2 2f a a= − ⋅ − ⋅ + = 3p
8 8 2 2 0a a= − − + = , pentru orice număr real a 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 10
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 2
2 2 1 1 2 1 1 2f X X X f= − − +  − = − − − − − + = 3p
1 2 1 2 0= − − + + = , deci polinomul f este divizibil cu polinomul 1g X= + 2p
c) ( )( )2
2f X X a= − − ; 1 2x = și 2 3x x a= = , deci 1 2 3 2 2x x x a+ + = + 3p
2 2 8a+ = , de unde obținem 9a = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )' 2 4 2 2 2x x
f x e x e x= − + + − = 3p
( ) ( )( )2 2 2 2 2 1 1x x
e x x x e= − + − = − + , x∈ℝ 2p
b) Cum ( )
0
lim 0
x f x
→ = , rezultă ( ) ( )
( )0 0
'
lim lim
1 1 '
x xx x
f x f x
e e→ →
= =
− − 3p
( )( )
0
2 1 1
lim 4
x
xx
x e
e→
− +
= =
−
2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = ; pentru orice ( ),1x ∈ −∞ , ( )' 0f x < , deci f este strict descrescătoare pe
( ),1−∞ și, pentru orice ( )1,x ∈ +∞ , ( )' 0f x > , deci f este strict crescătoare pe ( )1, +∞ 2p
( )lim
x f x
→−∞ = +∞ , ( )1 3 2 0f e= − < , ( )lim
x f x
→+∞ = +∞ și f este continuă, deci ecuația
( ) 0f x = are exact două soluții 3p
2.a)
( )( )
4 4
2 2
3 3
4
3 1 4 2
3
f x x dx xdx x+ = = =  3p
32 18 14= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
21 1 1 2
2 2
0 0 0
13 1 '4 2 2 ln 3 1
3 33 1 3 1 0
xx
f x dx dx dx x
x x
+
= = = + =
+ +
   3p
2 2 4
ln 4 ln1 ln 2
3 3 3
= − = 2p
c)
( ) ( )2
3 1 lnx x
g x x
+
= , ( )0,x ∈ +∞ , deci ( ) 2
1 1 1
'1 3
3 ln ln
2
e e e x
g x dx x xdx xdx
x
  
= = + = +       
  
A
2
ln
2 1
ex
+ =
3p
2 2 2 2
ln 1 3 3 1 3 5
3 2 4 2 4 4 2 41
ex x x e e  +
= − + = + + =  
 
2p