Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2024 – 5 martie 2024

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 3z i  și 2 1z i  . Arătați că 1 2 2z iz  .
5p 2. Se consideră funcțiile :f ℝ ℝ ,   5f x x  și :g ℝ ℝ ,   2g x x  . Determinați numărul
real a pentru care    1f a g a  .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația  2
3log 4 1x x  .
5p 4. Determinați câte numere naturale impare, de două cifre, cu cifra zecilor număr par, se pot forma cu
elementele mulțimii  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7A  .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  0,3A ,  2,0B și C . Știind că punctul B este
mijlocul segmentului OC , determinați distanța dintre punctele A și C .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 6
B

 și mediana 4AM  . Arătați că aria
triunghiului ABC este egală cu 8 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
  
 
și   3 3
1 3 2
x x
A x x x
 
  
  
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că   det 0 3A  .
5p b) Determinați numărul real m pentru care       22 0 5A A A mI   .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care       det 0 1 3A x A A x    .
2. Pe mulțimea  0,M   se definește legea de compoziție 1 1x y x y xy     .
5p a) Arătați că 1 8 7 .
5p b) Determinați x M pentru care 3
x x
x  .
5p c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care      2
2 4 2
n
n n n    .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,    3 2
2 x
f x x x e  .
5p a) Arătați că    2
' 5 4 x
f x x x x e   , x  ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x  , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Arătați că  2
4 1
32 1
2x x
x x
e e 
    , pentru orice  4,0x   .
2. Se consideră funcția  : 1,f    ℝ ,   2 2
3 1
f x x x
   .
5p a) Arătați că  
2
1
2 7
1
f x dx
x
 
  
 
 .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că   
5 2
1
3 2ln 3x f x dx  .
5p c) Se consideră funcția  : 0,g   ℝ ,    1g x f x  . Arătați că     
4
1
' 4a bg x g x dx a  ,
pentru orice numere reale a și b .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.   2
1 2 3 1 3z iz i i i i i i          3p
 3 1 2    2p
2.   5f a a  ,  1 3g a a   2p
5 3a a   , de unde obținem 1a  3p
3. 2
4 3x x  , de unde obținem 2 4 3 0x x   3p
1x  sau 3x  , care convin 2p
4. Cifra unităților se poate alege în 4 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 3 moduri, deci se
pot forma 4 3 12  numere 3p
5.  4,0C 2p
2 2
4 3 5AC    3p
6. 4AC  2p
4 3AB  , deci 4 3 4 8 3
2
ABC

 
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)         
0 3 0 3
0 det 0 0 2 3 1
1 2 1 2
A A
  
          
   3p
0 3 3   2p
b)
  2 3
2 1 4
A  
  
  ,   5 12
5 4 13
A  
  
  ,       2
3 12 5 12 8 0
2 0 5 8
4 5 4 13 0 8
A A A I
     
          
       3p
2 28I mI , de unde obținem 8m  2p
c)   1 3
1 1 3
x x
A x x x
  
   
  ,       4 6
0 1 2 0
x x
A x A A x x
 
     
  , de unde obținem
       2
det 0 1 12A x A A x x    , pentru orice număr real x
3p
2
12 3x  , de unde obținem 1
2
x   sau 1
2
x  2p
2.a) 1 8 1 8 1 1 8 1      
 3p
10 3 7   2p
b) 3 3 1x x
x x
  
 , pentru orice x M 3p
3 1x x
x
   , de unde obținem 3x  , care convine 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c)  2 2n n n  
 ,     2 4 4n n n n   
 
 , pentru orice număr natural nenul n 3p
2
4 2
n
n   și, cum n este număr natural nenul, obținem 1n  sau 2n  sau 3n  2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)      2 3 2
' 3 4 2x x
f x x x e x x e     3p
   3 2 2
5 4 5 4x x
x x x e x x x e      , x  ℝ 2p
b)  0 0f  ,  ' 0 0f  2p
Ecuația tangentei este     0 ' 0 0y f f x   , adică 0y  3p
c)  ' 0 4f x x    sau 1x   sau 0x  ; pentru    4, 1 ' 0x f x     , deci f este
crescătoare pe  4, 1  și pentru    1,0 ' 0x f x    , deci f este descrescătoare pe
 1,0
2p
  4
32
4f e
   ,   1
1f e
  și  0 0f  , deci  4
32 1
f x ee
   , de unde obținem
 2
4 1
32 1
2x x
x x
e e 
    , pentru orice  4,0x  
3p
2.a)
 
2 2 2 3
1 1
22 3
1 1
f x dx x dx x
x
 
    
 
  3p
8 1 7   2p
b)
      
5 5 5
2
1 1 1
51 '2
3 2 2ln 1
1 1 1
x
x f x dx dx dx x
x x

     
    3p
2 ln 6 2 ln 2 2 ln 3   2p
c)
              4 4 4 2
1 1 1
4 4
' ' ' 21 1
bg x
a bg x g x dx ag x dx bg x g x dx ag x       
         2 2
4 1 4 1
2
b
a g g g g    , pentru orice numere reale a și b
3p
   1 0 2g f   ,    4 1 2g f  , deci     
4
1
' 4a bg x g x dx a  , pentru orice numere
reale a și b
2p