Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2024 – 5 martie 2024

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1
3 lg lg 10 1
10
 
   
  .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2 1f x x ax   , unde a este număr real. Determinați numerele
reale a pentru care   1 1f f  .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1
2 8 32x x   .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
numărul 100n  să fie natural.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  1, 4A ,  4,6B și  4, 2C . Determinați
coordonatele punctului D , știind că  1
2
OD AB AC 
   .
5p 6. Se consideră expresia   tg 4cos cos
2
x
E x x x   , unde 0, 2
x
 
 
  . Arătați că 0
3
E
   
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
  
 
 
și  
1 1
1 0 0
0 1
x
A x
x
 
 
  
  
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că   det 0 1A  .
5p b) Arătați că     3det 0A x A x I   , pentru orice număr real x .
5p c) Se consideră matricea  2,3B  ℝ
M , 1 0 1
0 1 0
B  
  
 
. Determinați matricea  2,3X  ℝ
M pentru
care     
1
0 0X A B A

   , unde    1
0A  este inversa matricei  0A .
2. Pe mulțimea  0,M   se definește legea de compoziție
2 2
1
x y x y
x y x y
  
    .
5p a) Arătați că 1 2 2  .
5p b) Arătați că 0e  este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Determinați perechile  ,m n de numere naturale pentru care 5m n  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,     2
6 4f x x x   .
5p a) Arătați că    2
2
2 3 2
'
4
x x
f x
x
 


, x  ℝ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Demonstrați că ecuația  f x m are soluție unică, pentru orice număr întreg m .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   1
x
x
f x e

 .
5p a) Arătați că  
4
0
12x
e f x dx  .
5p b) Arătați că  
1
0
2 3e
f x dx e

 .
5p c) Pentru fiecare număr natural n , 2n  , se consideră numărul
 
1 1
0
n
n n
x
I dx
f x

  . Demonstrați că
ln 2 1
n
e
I
n n

  , pentru orice număr natural n , 2n  .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1
3 lg lg 10 2 lg 10
10
 
     
  3p
1
2 1
2
   2p
2.  1f a ,    2
1 2 1f f a 
 2p
2
2 1 1a   , de unde obținem 1a   sau 1a  3p
3. 1 3
2 2 32x x   , deci 4 1 5
2 2x  , de unde obținem 4 1 5x   3p
1x  2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p
Cum 110 100 199n   și 100n  este pătratul unui număr natural, obținem 4 numere: 21 ,
44 , 69 și 96 , deci 4 2
90 45
p   3p
5.  1 3 2 3 2 3
2
OD i j i j i    
      3p
Coordonatele punctului D sunt 3Dx  și 0Dy  2p
6. tg 3
3
  , 3
cos 6 2
  , 1
cos 3 2
  3p
3 1
3 4 3 3 0
3 2 2
E
         
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
    
1 1 0 1 1 0
0 1 0 0 det 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
A A
  
 
      
   
2p
 0 0 0 0 0 1 1        3p
b)
   
2
2
2 1 0
1 1
0 1
x
A x A x x
x x
  
 
    
 
  
,    
2
3
2
1 1 0
1 0
0
x
A x A x I x
x x
  
 
     
 
 
3p
        2 2 2 2 2
3det 1 2 0A x A x I x x x x x          , pentru orice număr real x 2p
c)    0 0X B A A   2p
2 1 1
1 1 0
X  
  
  3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1
  
  
  3p
8 2
4
  2p
b)  2 2 10 0
0 0 1 1
x xx x
x x
x x
  
   
   , pentru orice x M 2p
 2 2 10 0
0 0 1 1
x xx x
x x
x x
  
   
   , pentru orice x M , deci 0e  este elementul neutru al
legii de compoziție „  ”
3p
c) 2 2
5
1
m n m n
m n
   
  , de unde obținem    2 2
2 2 13m n    3p
Cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile  0,5 ,  4,5 ,  5,0 și  5, 4 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)    2
2
2
' 4 6
2 4
x
f x x x
x
     
 3p
 22
2 2
2 3 22 6 4
4 4
x xx x
x x
  
 
 
, x  ℝ 2p
b)  ' 0 2f x x    sau 1x   2p
 ' 0f x  , pentru orice  , 2x f    este crescătoare pe  , 2  ,  ' 0f x  , pentru
orice  2, 1x f    este descrescătoare pe  2, 1  și  ' 0f x  , pentru orice
 1,x f    este crescătoare pe  1, 
3p
c)  lim
x
f x

  ,  2 128f   ,  1 125f   ,  lim
x
f x

  , f este continuă și
11 125 128 12  
3p
Cum f este strict crescătoare pe  , 2  , f este descrescătoare pe  2, 1  și f este
strict crescătoare pe  1,  , obținem că ecuația  f x m are soluție unică, pentru orice
număr întreg m
2p
2.a)
   
4 4 2
0 0
4
1 2 0
x x
e f x dx x dx x
 
      
 
  3p
8 4 12   2p
b)
       
1 1
0 0
1 1
'1 1 0 0
x x x
f x dx x e dx x e e  
         3p
2 1 2 3
1 1 e
e e e

      2p
c)  1 1 11
0 0 0
'1 1
11 1
n
n n xn x t
n n n
x ex e e
I dx dx dt
n n tx x

    
   , pentru orice număr natural n, 2n  3p
 
1
0
11 1 1 ln 2
ln 1
1 0
nI dt t
n t n n
   
 , pentru orice număr natural nenul n , 2n  și
1
0
1 1t
n
e
I e dt
n n

  , pentru orice număr natural nenul n , 2n 
2p