Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M3 Tehnologic 2024

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că1 3
3 1 2
8 8
 
+  − = 
  .
5p 2. Se consideră funcția( )
: , 2 2f f x x→ = − . Determinați numărul reala pentru care( )
0f a = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația2 2
5 5x x+
= .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un numărn din mulțimea 
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = , acesta
să verifice inegalitatea9 15n +  .
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele( )
0,5A ,( )
4, 5B − și( )
,C a b , undea șib sunt
numere reale. Determinați numerele realea șib , știind că punctulC este mijlocul segmentuluiAB .
5p 6. Arătați că( )
2 sin 45 cos 45 sin 30 1  +    = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele3 2
1 0
A  
=  
−  ,3 4
2 3
B  
=  
− −  și2
1 0
0 1
I  
=  
  .
5p a) Arătați cădet 2A = .
5p b) Arătați că23 2B I A+ = .
5p c) Determinați numărul realx pentru care( )
22A xA B xI + = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție( )
2 3 1x y xy x y= − + + .
5p a) Arătați că1 0 2= − .
5p b) Arătați că legea de compoziție „ ” este comutativă.
5p c) Determinați mulțimea numerelor realex pentru care( )
2 0x x−  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția( )
: 4,f + → ,( )
3 4
4
x
f x x
−
= − .
5p a) Arătați că( )
( )
2
8
' 4
f x x
= − − ,( )
4,x  + .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre+ la graficul funcțieif .
5p c) Demonstrați că funcția( )
: 4,g + → ,( ) ( )
'g x f x= este crescătoare.
2. Se consideră funcția:f → ,( ) ( )
2
3f x x x= + + .
5p a) Arătați că( ) ( )
( )
2 2
0
3 2f x x dx− + = .
5p b) Arătați că( )
0
2
1 2
3
dx
f x x−
=
− .
5p c) Determinați numărul reala pentru care( ) ( )
6
0
3 ln 3
3
f x dx a
x = −
+ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.1 3 1 5
3 1 3
8 8 8 8
 
+  − = +  = 
  3p1 15 2
8 8
= + =
2p
2.( )
2 2f a a= − , pentru orice număr reala 3p2 2 0a − =
, de unde obținem1a = 2p
3.2 2x x= + 3p2x =
2p
4. MulțimeaA are9 elemente, deci sunt9 cazuri posibile 2p
În mulțimeaA sunt6 numeren pentru care9 15n +  , deci sunt6 cazuri favorabile, de
unde obținem6 2
9 3
p = = 3p
5.0 4 2
2
a +
= = 3p( )
5 5 0
2
b + −
= =
2p
6.2
sin 45 2
 = ,2
cos 45 2
 = ,1
sin 30 2
 = 3p( )
2 2 1 1
2 sin 45 cos 45 sin 30 2 2 1
2 2 2 2
 
  +    =  +  =  =  
 
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)( )
3 2
det 3 0 2 1
1 0
A = =  −  − =
− 3p0 2 2= + =
2p
b)2
3 4 3 0 6 4
3 2 3 0 3 2 0
B I      
+ = + = =     
− − −      3p3 2
2 2
1 0 A
 
= = 
− 
2p
c)( )
3 3 2 4 7 5 6 6
2 3 3 3 2 4
x x x x
xA B A xA B
x x x
+ + + +   
+ =   + =   
− − − − − − −    , pentru orice număr realx 3p7 5 6 6 2 0
3 3 2 4 0 2
x x x
x x x
+ +   
=   
− − − −   
, de unde obținem1x = − 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a)( )
1 0 2 1 0 3 1 0 1=   − + + = 3p0 3 1 2= − + = −
2p
b)( )
2 3 1y x yx y x= − + + = 2p( )
2 3 1xy x y x y= − + + =
, pentru orice numere realex șiy , deci legea de compoziție „ ”
este comutativă 3p
c)( )
2
2 4 3 1x x x x− = − + + , pentru orice număr realx 2p2
4 3 1 0x x− + + 
, de unde obținem1 ,1
4
x  
 − 
  3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)( ) ( ) ( )
( )
2
3 4 3 4
4
x x
f x x
− − −
 = =
−
3p( ) ( )
2 2
3 12 3 4 8
4 4
x x
x x
− − +
= = −
− −
,( )
4,x  + 2p
b)( )
4
3
3 4
lim lim lim 3
44 1
x x x
x xf x x
x
→+ →+ →+
−
−
= = =
− −
3p
Dreapta de ecuație3y = este asimptota orizontală spre+ la graficul funcțieif 2p
c)( ) ( )
( )
3
16
'''
4
g x f x
x
= =
− ,( )
4,x  + 3p( )
' 0g x 
, pentru orice( )
4,x  + , deci funcțiag este crescătoare 2p
2.a)( ) ( )
( )
2 2 2
2
0 0
2
3 2 0
x
f x x dx x dx− + = = = 
3p4 0 2
2
= − =
2p
b)( ) ( )
( )
( )
0 0 0
2 2
2 2 2
031 1 1
3 23 3
x
dx dx dx
f x x xx x− − −
+
= = = − =
− + −+ +
  
3p1 2
1
3 3
= − + =
2p
c)( ) ( ) ( )
26 6 6 2
0 0 0
6 6 63 3
4 4 3ln 3 42 3ln3
3 3 3 2 0 0 0
f x x x x
dx dx x dx x x
x x x
+ +  
= = + − = + − + = − 
+ + + 
  
3p( )
42 3ln3 3 ln3a− = −
, de unde obținem14a = 2p