Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2024

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că  0,5 10 1 0,75 3    .
5p 2. Se consideră funcțiile :f ℝ ℝ ,   2 1f x x  și :g ℝ ℝ ,   1g x x  . Arătați că
   f m g m m   , pentru orice număr real m .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 6 5x x  .
5p 4. Se consideră mulțimea  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A  . Calculați probabilitatea ca, alegând un număr
din mulțimea A , acesta să fie divizor al lui 30 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  1,1A ,  2, 2B și  4,0C . Arătați că triunghiul
ABC este dreptunghic în B .
5p 6. Se consideră   2
3cos cos sin
2
x
E x x x   , unde x este număr real. Arătați că 0
3
E
   
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea   2
1 6
x x
A x x
 
  
  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că   det 6 12A  .
5p b) Determinați numărul real a pentru care      4 4 4A A aA  .
5p c) Determinați perechile  ,m n de numere naturale nenule, cu m n , pentru care
    det 0A m A n  .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție  x y xy x y xy   .
5p a) Arătați că 1 3 3 .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care 2
2x x  .
5p c) Determinați numărul întreg nenul m pentru care 1
2 m m
m   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția  : 0,f   ℝ ,   2 2 3ln
x
f x x
x

  .
5p a) Arătați că   2
2
3 2
' x x
f x x
 
 ,  0,x   .
5p b) Arătați că   3ln
lim 1
1x
f x x
x
 
 .
5p c) Demonstrați că
2 2 3ln
x x x
x
   , pentru orice  0, 2x  .
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   3 1f x x x   .
5p a) Arătați că   
2 3
0
4f x x dx  .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că  
1 2
0
ln 2
3
x dx
f x x 
 .
5p c) Determinați  ,0a   , știind că     
0 3
' 1x a
a
e f x f x dx a e 
   .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.  0,5 10 1 0, 75 0,5 10 0, 25       2p
0,5 2,5 3   3p
2.   2 1f m m  , pentru orice număr real m 2p
     1 2 1 1g m m f m g m m m m            , pentru orice număr real m 3p
3. 2 6 5x x  , deci 2 5 6 0x x   2p
2x  sau 3x  , care convin 3p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 5 divizori ai lui 30 , deci sunt 5 cazuri favorabile, de unde obținem
5
9
p  3p
5. 1ABm  2p
1 1BC AB BCm m m      , deci triunghiul ABC este dreptunghic în B 3p
6. 1
cos 3 2
  , 3
cos 6 2
  , 3
sin 3 2
  3p
1 3 3
3 0
3 4 2 2
E
       
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)       
6 12 6 12
6 det 6 6 0 12 1
1 0 1 0
A A
  
         
  3p
0 12 12   2p
b)   4 8
4 1 2
A  
  
 
,      
8 16
4 4 2 4
2 4
A A A
 
   
  3p
   4 2 4aA A , de unde obținem 2a  2p
c)            
2 2 det 8
2 12
m n m n
A m A n A m A n m n m n
m n
   
        
  
, pentru orice
numere naturale nenule m și n
2p
  8 0m n m n    și, cum m și n sunt numere naturale nenule, cu m n , obținem
perechile  1, 7 ,  2, 6 și  3, 5 3p
2.a)  1 3 1 3 1 3 1 3      3p
3 1 3   2p
b)  2 2 2x x x  , pentru orice număr real x 2p
  2
2 2x x x   , de unde obținem 0x  sau 4x  3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 2
1 2 1
2 4
m m
m
m m
 
  , pentru orice număr real nenul m 2p
2
2 1
4
m m m
m
   , deci 2
2 1 0m m   și, cum m este număr întreg nenul, obținem 1m   3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
   2
2
2 2 3
' x x x
f x xx
  
   3p
2 2
2 2
2 3 3 2x x x
xx x
  
   ,  0,x   2p
b)
  2
2 2
2 2
2
1
3ln 2
lim lim lim 11 1
x x x
x
f x x x x
x x x x x
  
 
      
    
 
3p
2
2
1
lim 1
1
1
x
x
x


 

2p
c)  ' 0 1f x x   sau 2x  ; pentru orice  0,1x  ,  ' 0f x f  este crescătoare pe  0,1
și pentru orice  1, 2x  ,  ' 0f x f  este descrescătoare pe  1, 2 , de unde obținem
   1f x f , pentru orice  0, 2x 
3p
 1 1f   , deci
2 2 3ln 1
x x
x
    , de unde obținem
2 2 3ln
x x x
x
   , pentru orice  0, 2x  2p
2.a)
    
2 2 2
3
0 0
2
1 2 0
x
f x x dx x dx x
 
       
 
  3p
2
2 2 4
2
   2p
b)
 
   
31 1 12 2 3
3 3
0 0 0
11 '1 1 ln 1
3 31 1 0
xx x
dx dx dx x
f x x x x

    
  
   3p
ln 2 ln1 ln 2
3 3 3
   2p
c)
           
0 0 3
0
'' 1 1x x x a
a a
e f x f x dx e f x dx e f x e a a
a
   
        , unde  , 0a   3p
 3 3
1 1 1a a
e a a a e 
     , de unde obținem 1a   , care convine 2p