Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M1 Mate-Info 2024

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că    2 1 2 4 1i i i    , unde 2 1i   .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   2
f x x ax a   , unde a este număr real. Determinați
numărul real a pentru care punctul  3, 3A  aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația    2
2 2log 8 log 8 2x x   .
5p 4. Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu
elementele mulțimii  1, 2,3, 4,5A  .
5p 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele  0,3A și  4,0B . Determinați coordonatele
punctului C pentru care OA OB OC 
   .
5p 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC , cu 5AB  , 4
C

 și înălțimea 4AD  . Arătați că
7BC  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
  
 
 
și  
0 0 1
1
1 0 0
A a a a
 
 
  
 
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că   det 1 1A  .
5p b) Arătați că         3A a A b A a A b I    , pentru orice numere reale a și b .
5p c) Determinați matricea  3X  ℝ
M pentru care     31 0A X A I   .
2. Pe mulțimea  3,M   se definește legea de compoziție   3 3 3x y m x y    , unde
 0,m   .
5p a) Arătați că 3 5 3 , pentru orice  0,m   .
5p b) Pentru 2m  , arătați că 7
2
e  este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Se consideră funcția  : , 3 3f M M f x x    . Pentru 1m  , arătați că      ,f x y f x f y 
pentru orice x , y M .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția  : 1,f   ℝ ,   1
x
e
f x x x

   .
5p a) Arătați că    
 
2
2
1
'
1
x
x xe
f x
x

 


,  1,x   .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre  la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că funcția f este bijectivă.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,  
 22 1
x
f x
x


.
5p a) Arătați că   
3 22
1
1 4f x x dx  .
5p b) Arătați că  
1
0
1
4
f x dx  .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n , se consideră numărul  
1
0
n
nI x x f x dx  . Arătați că
  4
2
2 4
n nI I n n
    , pentru orice număr natural nenul n .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2024
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.     2
2 1 2 4 2 4 4i i i i i i        3p
 2 1 1    2p
2.  3 3 9 3 3f a a       3p
6a   2p
3. 2 8 8 2x x   , de unde obținem 2 2 0x x  3p
2x   sau 0x  , care convin 2p
4. Cifra zecilor se poate alege în 2 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 4 moduri, deci
se pot forma 2 4 8  numere 3p
5. 3OA j



  , 4OB i



  2p
4 3OC i j 



   , deci punctul C are coordonatele  4,3 3p
6. 4DC  2p
3BD  , deci 3 4 7BC BD DC     3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
    
0 0 1 0 0 1
1 1 1 1 det 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
A A
 
 
      
 
 
2p
 0 0 0 1 0 0 1        3p
b)
   
1 0 0
1
0 0 1
A a A b b a a b
 
 
      
 
 
3p
    3
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
a b a b A a A b I
   
   
         
   
   
, pentru orice numere reale a și b 2p
c)     
1
1 1A A
  ,     
1
0 0A A
  2p
     1 1
1 0X A A
 
  , de unde obținem
1 0 0
1 1 1
0 0 1
X
 
 
  
 
 
3p
2.a)   3 5 3 3 5 3 3m     3p
0 2 3 3m     , pentru orice  0,m   2p

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b)  
7 7
2 3 3 3 3 3
2 2
x x x x
 
        
 
 , pentru orice x M 2p
 
7 7
2 3 3 3 3 3
2 2
x x x x
 
        
 
 , pentru orice x M , deci 7
2
e  este elementul
neutru al legii de compoziție „  ”
3p
c)        3 3 3 3 3 3 3 3f x y x y x y           2p
            3 3 3 3 3 3 3 3 3 3x y f x f y f x f y              , pentru orice
,x y M 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
   
 2
1
' 1
1
x x
e x e
f x
x
 
  
  
 3p
 
 
 
2
2 2
1
1
1 1
xx x xexe
x x
  
  
 
,  1,x   2p
b)  
 
lim lim 1 1
1
x
x x
f x e
x x x

 
 
     
3p
  lim lim 0
1
x
x x
e
f x x x

 
 
      
, deci dreapta de ecuație y x este asimptota oblică
spre  la graficul funcției f
2p
c)  ' 0f x  , pentru orice  1,x f   este strict crescătoare pe  1, , deci f este
injectivă 2p
 lim
x
f x

  ,  
1
lim
x
f x

  și f este continuă, deci f este surjectivă, de unde
obținem că f este bijectivă 3p
2.a)
  
3 3 222
1 1
3
1 2 1
x
f x x dx xdx     3p
9 1 4
2 2
   2p
b)
 
 
 
 
21 1 1
2 2 22 2
0 0 0
' 111 1 1
2 2 1 01 1
xx
f x dx dx dx xx x

     
 
   3p
1 1 1
4 2 4
    2p
c)
 
1 1 1
2
0 0 1
n
n
n
x
I x x f x dx dx
x

  
  , pentru orice număr natural nenul n 2p
   
1 41 1 2 4
1 2
4 2
0 0
1 11 1 1
1 2 4 2 41 0 0
n n n
n
n n
x x x x
I I dx x x dx n n n nx
  



        
   
 
  
2
2 4n n
   , pentru orice număr natural nenul n
3p