Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2023 – 27 iunie 2023, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 1
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 25 64 169 0+ − = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x= + , și :g →ℝ ℝ , ( ) 2 2g x x= + . Determinați
numerele naturale n pentru care ( ) ( )f n g n≥ .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )3 32 log 2 1 log 27x+ − = .
5p 4. Prețul unui obiect este de 150 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două
ori, succesiv, cu câte 20% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0, 4A și ( )3,6M . Determinați coordonatele
punctului B , știind că punctul M este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Arătați că 3 1 1
sin 60 cos 30 cos 60
2 23
⋅ ° − ⋅ ° ⋅ ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 4x y x y∗ = + − .
5p 1. Arătați că ( )2 2 4∗ − = − .
5p 2. Arătați că legea de compoziție „ ”∗ este asociativă.
5p 3. Arătați că 1 2 3 4 5 6 0∗ ∗ ∗ ∗ ∗ > .
5p 4. Determinați numărul real x pentru care ( )1x x x x x∗ ∗ = + ∗ .
5p 5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 2 2x x
∗ = .
5p 6. Arătați că 2
2
1 2x x
∗ ≥ − , pentru orice număr real nenul x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 1 0
1 1
A  
=  
− 
, 1 2
0 1
B  
=  
− 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și 2
0 0
0 0
O  
=  
 
.
5p 1. Arătați că det 1A = − .
5p 2. Arătați că 2A A B B O⋅ − ⋅ = .
5p 3. Determinați numărul real x pentru care ( )2det 0A A xI⋅ − = .
5p 4. Determinați numărul real x pentru care 2
2 2
1 2
A B xI − − 
− − =  
− 
.
5p 5. Determinați numerele reale a pentru care ( )( )det 6a A B+ = − .
5p 6. Rezolvați în ( )2 ℝ
M ecuația A X B⋅ = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total
acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 25 64 169 5 8 13+ − = + − = 3p
13 13 0= − = 2p
2. 2
2 2 2n n+ ≥ + 2p
2
2n n≥ și, cum n este număr natural, obținem 0n = sau 1n = sau 2n = 3p
3. ( )3log 2 1 1x − = , de unde obținem 2 1 3x − = 3p
2x = , care convine 2p
4. După prima scumpire cu 20% , prețul obiectului este 20
150 150 180
100
+ ⋅ = de lei 2p
După a doua scumpire cu 20% , prețul obiectului este 20
180 180 216
100
+ ⋅ = lei 3p
5. M mijlocul segmentului 0
3 2
Bx
AB +
 = , 4
6 2
By+
= 3p
6Bx = , 8By = 2p
6. 3
sin 60 2
=ο , 3
cos30 2
=ο , 1
cos 60 2
=ο 3p
3 3 1 3 1 3 1 1
2 2 2 2 4 4 23
⋅ − ⋅ ⋅ = − = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( ) ( )2 2 2 2 4∗ − = + − − = 3p
0 4 4= − = − 2p
2. ( ) ( ) ( )4 4 4 8x y z x y z x y z x y z∗ ∗ = + − ∗ = + − + − = + + − , pentru orice numere reale x ,
y și z 2p
( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 8x y z x y z x y z x y z x y z ,∗ ∗ = ∗ + − = + + − − = + + − = ∗ ∗ pentru orice numere
reale x , y și z , deci legea de compoziție „ ”∗ este asociativă 3p
3. ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 2 7∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = − ∗ = 3p
2 7 4 1 0= − + − = > 2p
4. 3 8x x x x∗ ∗ = − , ( )1 2 3x x x+ ∗ = − , pentru orice număr real x 2p
3 8 2 3x x− = − , de unde obținem 5x = 3p
5. 4 2 4 2 4x x x x
∗ = + − , pentru orice număr real x 2p
4 2 6 0x x
+ − = ⇔ ( )( )2 2 2 3 0x x
− + = , de unde obținem 1x = 3p
6. 2
2
1 4 2x x
+ − ≥ − ⇔ 2
2
1 2 0x x
+ − ≥ , pentru orice număr real nenul x 2p
2
1 0x x
 
− ≥ 
  , deci 2
2
1 2x x
∗ ≥ − , pentru orice număr real nenul x 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( )
1 0
det 1 1 0 1
1 1
A = = ⋅ − − ⋅ =
− 3p
1 0 1= − − = − 2p
2. 1 0
0 1
A A  
⋅ =  
  2p
Cum 1 0
0 1
B B  
⋅ =  
 
, obținem 2A A B B O⋅ − ⋅ = 3p
3.
2
1 0
0 1
x
A A xI x
− 
⋅ − =  
− 
, deci ( ) ( )2
2det 1A A xI x⋅ − = − , pentru orice număr real x 3p
( )2
1 0x− = , de unde obținem 1x = 2p
4.
2
2
1
x
A B xI x
− − 
− − =  
− 
, pentru orice număr real x 3p
2 2 2
1 1 2
x
x
− − − −   
=   
− −   
, de unde obținem 2x = 2p
5. ( ) 2 2
2
a a
a A B a a
 
+ =  
− 
, deci ( )( ) 2
det 6a A B a+ = − , pentru orice număr real a 3p
6 62
a− = − , de unde obținem 1a = − sau 1a = 2p
6. 1
A A− =  X A B= ⋅ 3p
1 2
1 3
X  
=  
  2p