Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2023 – sesiunea august–septembrie, 17 august 2023, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 7
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 7
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )50 5 2 1 5− − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x x a= − + , unde a este număr real. Arătați că
( ) ( )1 2f f= , pentru orice număr real a .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )3 3log 2 log 4x x+ = − .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să aibă produsul cifrelor egal cu 8 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,A a , ( )1,0B și ( )5, 2C , unde a este număr real.
Determinați numărul real a , știind că punctul A este mijlocul segmentului BC .
5p 6. Arătați că sin 30 2 cos 45 cos 60 2° + ° + ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )3 4x y x y xy∗ = − − + .
5p 1. Arătați că 3 0 3∗ = .
5p 2. Demonstrați că ( )( )3 3 3x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Arătați că 4e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p 4. Arătați că 7
3 este simetricul lui 3
2 în raport cu legea de compoziție „ ∗ ”.
5p 5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9 3 3x x
∗ = .
5p 6. Calculați 3 4 5 ... 2023∗ ∗ ∗ ∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele 1 2
2 1
A − 
=  
 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 2 1
1
a
B a a
+ 
=  
 
, unde a este număr real.
5p 1. Arătați că ( )( )det 0 1B = − .
5p 2. Arătați că 25A A I⋅ = .
5p 3. Determinați numerele reale a pentru care ( )( )det 0B a A+ = .
5p 4. Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( ) 22 0B a B B I⋅ − = − .
5p 5. Demonstrați că matricea ( )1B a − este inversabilă, pentru orice număr rațional a .
5p 6. Determinați matricea ( )2X ∈ ℝM , știind că ( )0X B A⋅ = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 50 5 2= , ( )5 2 1 5 2 5− = − 3p
5 2 5 2 5 5− + = 2p
2. ( )1 2f a= − , pentru orice număr real a 2p
( )2 2f a= − , deci ( ) ( )1 2f f= , pentru orice număr real a 3p
3. 2 4x x+ = − 2p
1x = , care convine 3p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre, numerele care au produsul cifrelor egal cu 8
sunt: 18 , 24 , 42 și 81, deci sunt 4 cazuri favorabile, de unde obținem 4 2
90 45
p = = 3p
5. 0 2
2
a +
= 3p
1a = 2p
6. 1
sin 30 2
° = , 2
cos 45 2
° = , 1
cos 60 2
° = 3p
1 2 1
2 2
2 2 2
+ ⋅ + = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( )3 0 3 4 3 0 3 0∗ = − − + ⋅ = 3p
3 1 0 3= ⋅ + = 2p
2. 3 3 9 3x y xy x y∗ = − − + + = 2p
( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3 3 3x y y x y= − − − + = − − + , pentru orice numere reale x și y 3p
3. ( )( )4 3 4 3 3x x x∗ = − − + = , pentru orice număr real x 2p
( )( )4 4 3 3 3x x x∗ = − − + = , pentru orice număr real x , deci 4e = este elementul neutru al
legii de compoziție „ ∗ ” 3p
4. 7 3 7 3
3 3 3 4
3 2 3 2
  
∗ = − − + =  
   2p
3 7 3 7
3 3 3 4
2 3 2 3
  
∗ = − − + =  
   , deci 7
3 este simetricul lui 3
2 în raport cu legea de compoziție „∗ ” 3p
5. ( )( )9 3 9 3 3 3 3x x x x
∗ = − − + , pentru orice număr real x 2p
( )( )2
3 3 3 3 0x x
− − = , de unde obținem 1
2
x = sau 1x = 3p
6. 3 3x∗ = , pentru orice număr real x 2p
( )3 4 5 ... 2023 3 4 5 ... 2023 3∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ = 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( )( ) 2 1
det 0 2 0 1 1
1 0
B = = ⋅ − ⋅ = 3p
0 1 1= − = − 2p
2. 1 4 2 2
2 2 4 1
A A + − + 
⋅ = = 
− + +  3p
2
5 0 5
0 5 I
 
= = 
  2p
3. ( )( ) ( )2 21 3
det 1 3
3 1
a
B a A a
a
+
+ = = + −
+ 3p
2a = sau 4a = − 2p
4. ( ) ( ) 1
2 1 2
a
B a B a a
 
⋅ − =  
− 
, pentru orice număr real a 2p
Cum ( ) 2
1 1
0 1 1
B I  
− =  
− 
, obținem 1 1 1 1
1 1 1 2
a a
a a
   
= ⇔ =   
− −    3p
5. ( )( ) 21 1
det 1 2
1 1
a
B a a
a
+
− = = −
− , pentru orice număr real a 2p
Cum a este număr rațional, obținem 2 2 0a − ≠ , deci matricea ( )1B a − este inversabilă 3p
6. Inversa matricei ( )0B este matricea 0 1
1 2
 
 
−  2p
1 2 0 1 2 5
2 1 1 2 1 0
X − −     
= ⋅ =     
−      3p