Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2023 – 27 iunie 2023, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1
3 1 4
2 2
 
⋅ + − = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= + . Determinați numărul real a pentru care ( ) 6f a = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )7 7log 2 1 log 9x + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 2, 3, , 23A = … , acesta să
verifice inegalitatea 10n ≥ .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 2A − și ( )1,6B . Determinați coordonatele
mijlocului segmentului AB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 2AC = și 2BC = . Arătați că triunghiul
ABC este isoscel.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 2
2 1
A  
=  
  , 0 4
4 2
B  
=  
  și 1 2
2 1
C − 
=  
  .
5p a) Arătați că det 1A = − .
5p b) Arătați că 2 3B A C− = .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care 2 2X A B C⋅ = + .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )4 4 4x y x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 5 4 4∗ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 6 6x x∗ = .
5p c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care 4 4n
n ∗ > .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2
6 15 9f x x x x= + − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
' 3 4 5f x x x= + − , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Arătați că ( )
( )
'
lim 0
"xx
f x
e f x→+∞ = .
2. Se consideră funcția ( ): 9,f − +∞ → ℝ , ( ) 8
9
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
1
0
9 4x f x dx+ ⋅ = .
5p b) Arătați că ( )
6
1
1 3
ln
8 2
f x dx
x ⋅ = .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )
3 2
0
6 4f x dx a
π= + .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 3 1
3 1 3
2 2 2 2
 
⋅ + − = ⋅ − = 
  3p
9 1 4
2 2
= − = 2p
2. ( ) 2f a a= + 2p
2 6a + = , de unde obținem 4a = 3p
3. 2 1 9x + = 3p
4x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 23 de elemente, deci sunt 23 de cazuri posibile 2p
În mulțimea A sunt 14 numere n care verifică inegalitatea 10n ≥ , deci sunt 14 cazuri
favorabile, de unde obținem 14
23
p = 3p
5. 1 1 0
2
Mx − +
= = , unde punctul M este mijlocul segmentului AB 3p
2 6 4
2
My +
= = 2p
6. 2 2 2AB BC AC= − = 3p
AB AC= , deci triunghiul ABC este isoscel 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 3 2
det 3 1 2 2
2 1
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
3 4 1= − = − 2p
b) 0 8 3 2 3 6
2 8 4 2 1 6 3
B A −     
− = − = =     
      3p
1 2
3 3
2 1 C
− 
= = 
  2p
c) 2 8
2 8 4
B C − 
+ =  
  , 1 1 2
2 3
A− − 
=  
−  3p
( ) 11 2
2
X B C A−
= + ⋅ , de unde obținem 9 14
0 2
X − 
=  
  2p
2.a) ( )( )5 4 5 4 4 4 4∗ = − − + = 3p
1 0 4 4= ⋅ + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 6 2 4x x∗ = − , pentru orice număr real x 3p
2 4 6x x− = , de unde obținem 1x = − 2p
c) ( ) ( )
4 1
4 4 4 4 1 4 0n n
n n
   
− − + > ⇔ − − >   
    , unde n este număr natural nenul 2p
Cum n este număr natural nenul, obținem 2n = și 3n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
' 3 6 2 15f x x x= + ⋅ − = 3p
( )2 2
3 12 15 3 4 5x x x x= + − = + − , x ∈ℝ 2p
b) ( )' 0 5f x x= ⇔ = − sau 1x = 2p
( )' 0f x ≥ , pentru orice ( ], 5x ∈ −∞ − , deci f este crescătoare pe ( ], 5−∞ − , ( )' 0f x ≤ , pentru
orice [ ]5,1x ∈ − , deci f este descrescătoare pe [ ]5,1− și ( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )1,x ∈ +∞ ,
deci f este crescătoare pe [ )1, +∞
3p
c)
( ) ( )'' 3 2 4f x x= + , x ∈ℝ , deci ( )
( ) ( ) ( )
2' 4 5 2 4
lim lim lim
" 2 4 2 6x x xx x x
f x x x x
e f x e x e x→+∞ →+∞ →+∞
+ − +
= = =
+ + 3p
( )
2
lim 0
2 8xx e x→+∞
= =
+ 2p
2.a)
( ) ( )
1 1 2
0 0
1
9 8 4 0
x f x dx x dx x+ ⋅ = = =  3p
4 0 4= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
6 6 6
1 1 1
691 1 ln 9
8 9 9 1
x
f x dx dx dx x
x x x
′+
⋅ = = = + =
+ +   3p
3
ln15 ln10 ln 2
= − = 2p
c)
( )
3 3 32
2
2 2
0 0 0
3 38 9 9
8 1 8 8 arctg 24 6
3 39 9 0 0
x x
f x dx dx dx x
x x
π
 
= = − = − ⋅ = − 
+ + 
   3p
( )24 6 6 4 a
π
π− = + , de unde obținem 1a = − 2p