Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2023 – sesiunea specială, 16 mai 2023, varianta 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați termenul 3a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 1 10a = și 2 20a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x= + . Arătați că ( ) ( )0 1 10f f+ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2 2log 4 log 4x − = .
5p 4. Un produs costă 80 de lei. Determinați prețul produsului după o ieftinire cu 20% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,2M și ( )3,6N . Arătați că distanța dintre
punctele M și N este egală cu 5 .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu 4AB = și măsura unghiului C egală cu 45° .
Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 8 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 3
1 2
a a
A a + 
=  
−  , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 9A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )2 0A a A a A+ − = , pentru orice număr real a .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care ( ) ( )( )2det 1 0A a A aI⋅ − − = .
2. Se consideră polinomul 3 2
3 4f X X mX= + + − , unde m este număr real.
5p a) Arătați că ( )0 4f = − , pentru orice număr real m .
5p b) Determinați numărul real m , știind că 1− este rădăcină a polinomului f .
5p c) Determinați numerele naturale m pentru care 2 2 2
1 2 3 5x x x+ + > , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 3 4 lnf x x x x= − + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )2 1 1
' x x
f x x
− −
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) 11 ln 2
4
f x ≤ − , pentru orice ( ]0,1x ∈ .
2. Se consideră funcția 3
: ,
2
f  
− +∞ → 
  ℝ , ( ) 6
2 3
x
f x e x
= + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
3 2
1
6 1
2 3
f x dx e e
x
 
− = − 
+ 
 .
5p b) Arătați că ( )( )
0
1
3ln 3x
f x e dx
−
− = .
5p c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției ( ) ( ) ( )23
: , , 2 3
2
g g x x x f x
 
− +∞ → = + 
  ℝ ,
axa Ox și dreptele de ecuații 0x = și 1x = are aria egală cu ( )2 1e + .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 1 10r a a= − = , unde r este rația progresiei aritmetice 2p
3 2 20 10 30a a r= + = + = 3p
2. ( )0 4f = 2p
( ) ( ) ( )1 6 0 1 4 6 10f f f=  + = + = 3p
3. 4 4x − = 3p
8x = , care convine 2p
4. 20 80 16
100 ⋅ = lei 2p
Prețul după ieftinire este 80 16 64− = de lei 3p
5. 9 16MN = + = 3p
25 5= = 2p
6. 4AC = 3p
4 4 8
2
ABC∆
⋅
= =
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
2 5 2 5
2 det 2 2 2 5 1
1 2 1 2
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ − = 
− −  3p
4 5 9= + = 2p
b) ( ) ( ) 3 3 0 6
1 2 1 2 2 4
a a a a
A a A a + − − +     
+ − = + = =     
− − −      3p
( )
0 3
2 2 0
1 2 A
 
= = 
− 
, pentru orice număr real a 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
2 3 4 6 3 3 4 6
1 1
1 2 1 2
a a a a
A a A A a A aI a
− − + − − +   
⋅ − =  ⋅ − − =   
− − −   
, de unde obținem
( ) ( )( ) 2
2det 1 3A a A aI a a⋅ − − = + , pentru orice număr real a
3p
2
3 0a a+ = , de unde obținem 1
3
a = − sau 0a = 2p
2.a) ( ) 3 2
0 0 3 0 0 4f m= + ⋅ + ⋅ − = 3p
0 0 0 4 4= + + − = − , pentru orice număr real m 2p
b) ( )1 2f m− = − − , pentru orice număr real m 2p
( )1 0f − = , de unde obținem 2m = − 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 1 2 3 1 2 2 3 3 13,x x x x x x x x x m+ + = − + + = , 2 2 2
1 2 3 9 2x x x m+ + = − , pentru orice număr natural m 3p
9 2 5m− > și, cum m este număr natural, obținem 0m = sau 1m = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 1
' 2 3f x x x
= − + = 3p
( )( )2 2 1 12 3 1 x xx x
x x
− −− +
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )1 2f = , ( )' 1 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 2y = 3p
c) ( ) 1
' 0 2
f x x= ⇔ = sau 1x = ; ( )' 0f x ≥ , pentru orice 1
0, 2
x f
 
∈  
  este crescătoare pe
1
0, 2
 
 
  și ( )' 0f x ≤ , pentru orice 1 ,1
2
x f
 
∈  
  este descrescătoare pe 1 ,1
2
 
 
 
3p
( ) 1
2
f x f  
≤  
  , pentru orice ( ]0,1x ∈ și, cum 1 11 ln 2
2 4
f   = − 
  , obținem ( ) 11 ln 2
4
f x ≤ − ,
pentru orice ( ]0,1x ∈
2p
2.a)
( )
3 3
1 1
36
2 3 1
x x
f x dx e dx e
x
 
− = = = 
+ 
  3p
( )3 2 1e e e e= − = − 2p
b)
( )( ) ( ) ( )
0 0 0
1 1 1
02 36 3 3ln 2 3
2 3 2 3 1
x x
f x e dx dx dx x
x x− − −
′+
− = = = + =
+ + −
   3p
( )3 ln 3 ln1 3ln 3= − = 2p
c)
( ) ( )2
2 3 6x
g x x x e x= + + , 3 ,
2
x  
∈ − +∞ 
  , deci ( ) ( )( )
1 1 2
0 0
2 3 6x
g x dx x x e x dx= = + + = 
A
( ) ( )2 2
1 1 1 1
2 3 4 3 4 3
0 0 0 0
x x x
x x e x e e x= + − + + + =
3p
( )5 7 3 4 4 3 2 2 2 1e e e e e= − + + − + = + = + 2p