Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2023 – sesiunea august–septembrie, 17 august 2023, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )1,5 3 1 0,5 3+ ⋅ − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 5f x x= − . Arătați că ( ) ( )0 1 1f f− = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 8 1x − = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 3, 5, 7, 9A = , acesta să
verifice inegalitatea 2 9n ≥ .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,0A , ( )1,2B și ( )4,1C . Arătați că triunghiul
ABC este isoscel.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu aria egală cu 50 și 5AC = . Arătați că
lungimea laturii AB este egală cu 20 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1
2
x
A x x x
 
=  
− − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 2A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )3 2 6 4 3A A A+ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( )2A x A x A x⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 1x y xy x y∗ = + − − .
5p a) Arătați că 1 1 1∗ = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care 2x x∗ = .
5p c) Arătați că ( )1 2x x− ∗ ≤ , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 1x
f x x e
= + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )2 1
'
x
x
e
f x e
−
= , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Determinați numerele reale m și n , știind că dreapta d de ecuație y mx n= + este asimptota
oblică spre +∞ la graficul funcției f .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3
4 3f x x x= + .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
3 15f x x dx− = .
5p b) Arătați că ( )
5
3
2
1 1 ln 2
34 3 dx
f x x =
− +
 .
5p c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției
[ ]: 1,2g → ℝ , ( ) ( )3
x f x
g x x
+
= este egal cu ( )2 3f
π .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )1,5 3 1 0,5 1,5 3 0,5+ ⋅ − = + ⋅ = 3p
1,5 1,5 3= + = 2p
2. ( )0 5f = 2p
( )1 4f = , deci ( ) ( )0 1 5 4 1f f− = − = 3p
3. 3 8 1x − = 3p
3x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile 2p
Numerele n , din mulțimea A , pentru care 2 9n ≥ sunt 5 , 7 și 9 , deci sunt 3 cazuri
favorabile, de unde obținem 3
5
p = 3p
5. 10AC = 2p
10BC = , deci triunghiul ABC este isoscel 3p
6. 5
50
2 2
ABC
AB AC AB
∆
⋅ ⋅
=  =
A 3p
2 50 20
5
AB ⋅
= = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1
1 det 1 1 1 1 1
1 1 1 1
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ − = 
− −  3p
1 1 2= + = 2p
b) ( ) ( ) 6 3 6 1 12 4
3 2 6 6 0 6 4 12 4
A A      
+ = + = =     
− − − − −      3p
( )
3 1
4 4 3
3 1 A
 
= = 
− −  2p
c)
( ) ( ) 2
2
2
2 5 4
x x
A x A x
x x x
 −
 ⋅ =  − − + 
, pentru orice număr real x 2p
2
2
2 2 2
2 4 22 5 4
x x x
x xx x x
 −  
  =    − − − − + 
, de unde obținem 0x = sau 3x = 3p
2.a) 1 1 1 1 2 1 1 1∗ = ⋅ + ⋅ − − = 3p
1 2 1 1 1= + − − = 2p
b) 2 4 3x x∗ = − , pentru orice număr real x 3p
4 3x x− = , de unde obținem 1x = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( ) 2
1 2 1 2x x x x− ∗ = − − − + = 3p
( )2
1 2 2x= − + + ≤ , pentru orice număr real x 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
2 2 2x
x
f x e e
−
′ = − = − = 3p
( )2 12 2 xx
x x
ee
e e
−−
= = , x ∈ℝ 2p
b) ( )0 1f = , ( )' 0 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 1y = 3p
c)
( ) 2
2 1 2 1
lim lim lim 2 2
x
xx x x
x
f x e
x x xxe→+∞ →+∞ →+∞
+ −  
= = + − = 
  , deci 2m = 3p
( )( ) 2
lim 2 lim 1 1xx x
f x x e→+∞ →+∞
 
− = − = − 
  , deci 1n = − 2p
2.a)
( )( )
2 2 3 4
1 1
2
3 4 1
f x x dx x dx x− = = =  3p
16 1 15= − = 2p
b)
( ) ( )
5 5
3
2 2
51 1 1 1 ln 1
3 1 34 3 2
dx dx x
xf x x = = + =
+− +
  3p
( )
1 1
ln 6 ln 3 ln 2
3 3
= − = 2p
c)
( ) 2
5 3g x x= + , [ ]1, 2x ∈ , deci ( ) ( )
2 4 2 5 3
1
2
25 30 9 5 10 9 234
1
x x dx x x x
π
π
π= + + = + + =
V 3p
( ) 3
3 4 3 3 3 117f = ⋅ + ⋅ = , deci ( )2 3f
π=
V 2p