Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2023 – sesiunea august–septembrie, 17 august 2023, varianta 5, rezervă

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 4 1
4 1 1
5 5
 
⋅ − + = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2f x x= + . Arătați că ( ) ( )0 1 10f f⋅ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 3
3 3x x− = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = ,
acesta să verifice inegalitatea 2 23n ≤ .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,3A și ( )4,0B . Arătați că perimetrul
triunghiului OAB este egal cu 12 .
5p 6. Arătați că ( )1 2cos60 sin 30 1+ ° ⋅ ° = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 0
1 3
A  
=  
  și ( ) 0
1 2
x
B x x
 
=  
− −  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 3A = .
5p b) Arătați că ( ) ( )8 3 2 2B B A− = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )A B x B x⋅ = .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 2f X X X m= − − + , unde m este număr real.
5p a) Pentru 3m = , arătați că ( )1 0f = .
5p b) Determinați numărul real m pentru care 1 2 2 3 3 1 1 2 3 1x x x x x x x x x+ + + = , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
5p c) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul 2X + .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
3
1
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )
2
22
3 1
'
1
x
f x
x
−
=
+
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 1f x x= + .
5p a) Arătați că ( )( )
1
0
2
1 3
f x dx− = .
5p b) Arătați că ( )
2
0
4 2ln 3
x dx
f x = .
5p c) Determinați numărul natural n , știind că ( )
1
1 4
ln
e
f xdx f n
x e
  ⋅ = − 
 
 .
1

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 5
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 1 1 1
4 1 4
5 5 5 5
 
⋅ − + = ⋅ + = 
  3p
4 1 1
5 5
= + = 2p
2. ( )0 2f = 2p
( ) ( ) ( )1 5 0 1 2 5 10f f f=  ⋅ = ⋅ = 3p
3. 2 3x x− = 3p
3x = 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele n din mulțimea A pentru care 2 23n ≤ sunt 0 , 1, 2 , 3 și 4 , deci sunt 5 cazuri
favorabile, de unde obținem 5 1
10 2
p = = 3p
5. 3OA = , 4OB = 2p
5AB = , deci 3 4 5 12OABP∆ = + + = 3p
6. 1
cos 60 2
° = , 1
sin 30 2
° = 2p
( ) 1 1 1
1 2cos 60 sin 30 1 2 2 1
2 2 2
 
+ ° ⋅ ° = + ⋅ ⋅ = ⋅ = 
  3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 1 0
det 1 3 0 1
1 3
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
3 0 3= − = 2p
b) ( ) ( ) 8 0 2 0 2 0
8 3 2 3
1 6 1 0 2 6
B B      
− = − = =     
− −      3p
1 0
2 2
1 3 A
 
= = 
  2p
c) ( ) 0
3 3 6
x
A B x x x
 
⋅ =  
− − 
, pentru orice număr real x 3p
0 0
3 3 6 1 2
x x
x x x
   
=   
− − − −   
, de unde obținem 2x = 2p
2.a) ( )3 2 3 2
2 2 3 1 1 2 1 2 1 3f X X X f= − − +  = − ⋅ − ⋅ + = 3p
1 2 2 3 0= − − + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 5
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 1 2 2 3 3 1 2x x x x x x+ + = − și 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2x x x m x x x x x x x x x m= −  + + + = − − 3p
2 1m− − = , de unde obținem 3m = − 2p
c) ( )2 12f m− = − , pentru orice număr real m 2p
12 0m − = , de unde obținem 12m = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
( )
2
22
3 1 3 2
'
1
x x x
f x
x
+ − ⋅
= =
+
3p
( )
( )
( )
22
2 22 2
3 13 3
1 1
xx
x x
−−
= =
+ +
, x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 2
2
3 3
lim lim lim 0
11 1
x x x
x
f x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
= = =
 + + 
 
3p
Dreapta de ecuație 0y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = − sau 1x = 2p
( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ], 1x f∈ −∞ −  este descrescătoare pe ( ], 1−∞ − ; ( )' 0f x ≥ , pentru
orice [ ]1,1x f∈ −  este crescătoare pe [ ]1,1− ; ( )' 0f x ≤ , pentru orice [ )1,x f∈ +∞  este
descrescătoare pe [ )1,+∞
3p
2.a)
( )( )
1 1 3
2
0 0
12
1 2 3 0
x
f x dx x dx− = = =  3p
3 3
2 1 2 0 2
3 3 3
⋅ ⋅
= − = 2p
b)
( )
( ) ( )
22 2 2 2
2 2
0 0 0
' 22 14 4 ln 2 1
2 1 2 1 0
xx x
dx dx dx x
f x x x
+
= = = + =
+ +
   3p
ln 9 ln1 2 ln 3= − = 2p
c)
2
1 1 1
1 2 2 2 2 4'
ln 1 ln ln ln 3
1 1
e e e e e
f xdx xdx x xdx x x x
x x x x ex
        
⋅ = + ⋅ = − + ⋅ = − + ⋅ − + = −        
        
   3p
24 4
3 2 1n
e e
− = + − și, cum n este număr natural, obținem 1n = 2p