Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2023 – 27 iunie 2023, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )4 6 3 3 2 3 1 1− + − = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 5 3f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 2 3g x x= + . Determinați numărul real
a pentru care ( ) ( )f a g a= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 3
2 2 1x+ ⋅ = .
5p 4. Determinați câte numere naturale, de două cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea
{ }3, 4,5,6A = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,0A , ( )0, 2B , ( )3,3C și M , mijlocul segmentului
AB . Arătați că segmentele MO și MC au lungimile egale.
5p 6. Se consideră ( ) 2sin sin 2 cosE x x x x= − , unde x este număr real. Arătați că 0
6
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 3 2 2
1 1 3
a a
A a a a
+ − 
=  
− +  , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )( ) 20 0A A a A aI⋅ − = , pentru orice număr real a .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )( )2
det 0A a aA a− ≥ , pentru orice număr real a .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2
4 3x y x xy y= − + .
5p a) Arătați că 0 2 12= .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( )2 1x x = − .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere întregi, cu m n< , pentru care 3m n = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
4 4
5 x
f x x
−
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
3
4 2
' x
f x x
−
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) ( ) 1f x f y− ≤ , pentru orice x , [ )1,y ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
3 4lnf x x x= + .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
4ln 7f x x dx− = .
5p b) Arătați că ( )( )2 2
1
3 1
e
x f x x dx e− = + .
5p c) Demonstrați că ( ) ( ) ( )( )
1
3 1 3 5
'' 2
e e e
f x F x dx − +
= , pentru orice primitivă ( ): 0,F +∞ → ℝ a funcției f .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )4 6 3 3 2 3 1 4 6 3 6 3 3− + − = − + − = 3p
4 3 1= − = 2p
2. 5 3 2 3a a− = + 3p
2a = 2p
3. 2 4 0
2 2x+ = , de unde obținem 2 4 0x + = 3p
2x = − 2p
4. Cifra zecilor se poate alege în 4 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 3 moduri, deci
sunt 4 3 12⋅ = numere 3p
5. ( )2,1M , de unde obținem 5MO = 3p
5MC = , deci MO MC= 2p
6. 1
sin 6 2
π = , 3
sin 3 2
π = , 3
cos 6 2
π = 3p
1 3 3
2 0
6 2 2 2
E
π  = ⋅ ⋅ − = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
3 2 3 2
0 det 0 3 1 2 1
1 1 1 1
A A
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
3 2 1= − = 2p
b) ( ) ( ) 2
0 3
a a
A a A a a
− 
− =  
−  2p
( ) ( ) ( )( ) 2
0 1 0
0 0 0 0 1
a
A A a A a aI
a
   
⋅ − = = =   
    , pentru orice număr real a 3p
c)
( ) 2 2
2
2 2
3 2 2
1 1 3
a a
A a
a a
 + −
 =  − + 
, ( ) ( )2 3 3 2 2
1 1
a a
A a aA a a a
− − 
− =  
− −  2p
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 22
det 3 1 2 1 1 0A a aA a a a a− = − − − = − ≥ , pentru orice număr real a 3p
2.a) 2 2
0 2 0 4 0 2 3 2= − ⋅ ⋅ + ⋅ =
 3p
0 0 12 12= − + = 2p
b) ( ) 2
2x x x= −
 , pentru orice număr real x 2p
2 1x− = − , de unde obținem 1x = − sau 1x = 3p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) ( )( )2 2
3 3 3m n m mn mn n m n m n= − − + = − −
 , pentru orice numere întregi m și n 2p
( )( )3 3m n m n− − = și, cum m și n sunt numere întregi cu m n< , obținem perechile
( )4, 1− − și ( )0,1 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )2
4
4 4 4 2x x x
f x x
− − ⋅
′ = = 3p
( ) ( )
4 3
4 2 4 2x x x
x x
− −
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) 2 2
4 4 4 4
lim lim 5 lim 5 5
x x x
x
f x xx x→+∞ →+∞ →+∞
−   
= + = + − =   
    3p
Dreapta de ecuație 5y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 0 2f x x= ⇔ = ; pentru orice [ ]1, 2x ∈ , ( )' 0f x f≥  este crescătoare pe [ ]1,2 și pentru
orice [ )2,x ∈ +∞ , ( )' 0f x f≤  este descrescătoare pe [ )2, +∞ 2p
( )1 5f = , ( )2 6f = și ( )lim 5
x f x
→+∞ = , deci ( )5 6f x≤ ≤ , pentru orice [ )1,x ∈ +∞ , de unde
obținem ( ) ( ) 1f x f y− ≤ , pentru orice x , [ )1,y ∈ +∞ 3p
2.a)
( )( )
2 2 2 3
1 1
2
4ln 3
1
f x x dx x dx x− = = =  3p
8 1 7= − = 2p
b)
( )( ) ( )2 2 2 2
1 1 1
'3 4 ln 2 ln 2 ln 1 1
e e e e e
x f x x dx x xdx x xdx x x x− = = = − =   3p
2 2 2
2 0 1 1e e e= − − + = + 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )' '' 'F x f x F x f x=  = , ( )0,x∈ +∞ 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )22 2
1 1
3 2 3 3 1 3 5
'' ' 2 2 21
e e ef x e e e
f x F x dx f x f x dx + − − +
= = = =  3p