Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2023 – sesiunea specială, 16 mai 2023, varianta 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )( )6 2 6 2 2− + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + . Determinați numerele reale a pentru care
( ) 1f a a= − .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )2
4 4log 4 log 6 4x x+ = − .
5p 4. Determinați câte numere naturale de două cifre, cu cifra zecilor număr impar, se pot forma cu
elementele mulțimii { }1, 2,3, 4,5 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 5A − și ( )5,5B . Determinați distanța de la
punctul O la mijlocul segmentului AB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 6AC = și tg 3C = . Arătați că aria
triunghiului ABC este egală cu 18 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  și ( ) 1
3 3 1
a a
A a a a
− 
=  
− +  , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 5A = .
5p b) Arătați că ( ) ( )( )2 21A a I a A I− = − , pentru orice număr real a .
5p c) Determinați numărul întreg m pentru care ( ) ( ) ( )2 1A m A m A⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 4x y xy x y= − − + .
5p a) Arătați că 0 3 1= .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care 3x x x= .
5p c) Determinați numărul real a , știind că x a x a= + , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 2 2x
f x e x x= + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
' 4x
f x e x x= + , x ∈ℝ .
5p b) Arătați că ( )
( )
lim 1
'x
f x
f x→+∞ = .
5p c) Demonstrați că ( )4 2 2 2 6x
e x x+ + − ≤ , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ .
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 3 3
f x x x
= + .
5p a) Arătați că ( )
2
1
3 15
4
f x dx
x
 
− = 
 
 .
5p b) Demonstrați că orice primitivă ( ): 0,G +∞ → ℝ a funcției ( ): 0,g +∞ → ℝ , ( ) ( )
1
g x f x
x
= este
crescătoare.
5p c) Arătați că ( )
3
1
1
12 3
dx
f x
π
= .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) ( )2 2
6 2 6 2 6 2− + = − = 3p
6 4 2= − = 2p
2. 2 1 1a a+ = − , deci 2 0a a+ = 3p
1a = − sau 0a = 2p
3. 2 4 6 4x x+ = − , deci 2 6 8 0x x− + = 3p
2x = sau 4x = , care convin 2p
4. Cifra zecilor se poate alege în 3 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei zecilor, cifra unităților se poate alege în câte 5 moduri, deci se
pot forma 3 5 15⋅ = numere 3p
5. 3Mx = și 0My = , unde M este mijlocul segmentului AB 3p
3OM = 2p
6. tg 6 3
AB
C AB
AC
=  = 3p
6 6 3 18 3
2
ABC∆
⋅
= =
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 2 1 2
2 det 2 1 7 2 6
6 7 6 7
A A
− − 
=  = = − ⋅ − ⋅ − = 
− −  3p
7 12 5= − + = 2p
b) ( ) 2
1 1
3 3 3 3
a a
A a I a
a a
− −   
− = =   
− −    , pentru orice număr real a 2p
( ) ( )( )2
0 1 1 1
1 1
3 4 3 3
A a A I a −   
=  − =   
− −    , deci ( ) ( )( )2 21A a I a A I− = − , pentru orice
număr real a
3p
c) ( ) ( ) ( )2
2 4 3A m A m A m m⋅ = + , pentru orice număr întreg m 3p
( ) ( )2
4 3 1A m m A+ = și, cum m este număr întreg, obținem 1m = − 2p
2.a) 0 3 0 3 0 3 4= ⋅ − − + =
 3p
0 3 4 1= − + = 2p
b) 2 2 4x x x x= − +
 , pentru orice număr real x 2p
2 2
2 4 3 5 4 0x x x x x− + = ⇔ − + = , de unde obținem 1x = sau 4x = 3p
c) 4 2 2 4 0xa x a x a xa x a− − + = + ⇔ − − + = , pentru orice număr real x 2p
( )2 2 4 0x a a− − + = și, cum egalitatea are loc pentru orice număr real x , obținem 2a = 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 6
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2
' 2 2 2 2x x
f x e x x e x= + − + + = 3p
( ) ( )2 2
2 2 2 2 4x x
e x x x e x x= + − + + = + , x ∈ℝ 2p
b) ( )
( )
( )
( )
2 2
22
2 2 2 2
lim lim lim
' 44
x
xx x x
e x xf x x x
f x x xe x x→+∞ →+∞ →+∞
+ − + −
= = =
++ 2p
2
2 2
2
2 2 2 2
1 1
lim lim 1
44 11
x x
x x xx x
x xx
→+∞ →+∞
 
+ − + − 
 = = =
  ++ 
 
3p
c) ( ) 0 4f x x′ = ⇔ = − sau 0x = ; pentru ( ] ( ), 4 0x f x′∈ −∞ −  ≥ , deci f este crescătoare pe
( ], 4−∞ − și, pentru [ ] ( )4, 0 0x f x′∈ −  ≤ , deci f este descrescătoare pe [ ]4, 0− 2p
( ) ( )4f x f≤ − , pentru orice ( ], 0x ∈ −∞ și ( ) 4
6
4f e
− = , deci ( )4 2 2 2 6x
e x x+ + − ≤ , pentru
orice ( ],0x ∈ −∞
3p
2.a)
( )
2 2 4
3
1 1
23
4 1
x
f x dx x dx
x
 
− = = = 
 
  3p
16 1 15
4 4 4
= − = 2p
b) G este o primitivă a funcției ( ) ( ) 31 3
'g G x g x x xx
 
 = = + 
  , ( )0,x ∈ +∞ 2p
31 3 0x xx
 
+ > 
  , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ , deci funcția G este crescătoare 3p
c)
( )
( )
( )
23 3 3 2
4 22
1 1 1
3'1 1 1 arctg
2 2 3 33 13
xx x
dx dx dx
f x x x
= = = =
+ +
   3p
1
3 62 3 12 3
π π π 
= − = 
  2p