Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2023 – sesiunea august–septembrie, 17 august 2023, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )3 4 4 4i i i− + − = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 4 2f x x= − . Arătați că ( )( )1 0f f = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2
5 5log 2 6 log 6x x− + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să fie divizibil cu 3 și cu 7 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 2A , ( ),0B a și ( )0,C b . Determinați numerele
reale a și b , știind că punctul A este mijlocul segmentului BC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu 10AB AC= = și 16BC = . Arătați că 6AD = , unde AD este
înălțime în triunghiul ABC .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
  , 1 2
1 2
A  
=  
− −  și ( ) 1 2 1
1 2 1
x x
B x x x
+ + 
=  
− −  , unde x este număr
real.
5p a) Arătați că ( )( )det 2 4B = .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )0 1B B aA⋅ = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )( )20 3A B x A B I⋅ = ⋅ − .
2. Se consideră polinomul 3 2
2 3f X X mX= + + − , unde m este număr real.
5p a) Pentru 0m = , arătați că ( )1 0f = .
5p b) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul 1X + .
5p c) Determinați numărul real m pentru care ( )( )( )1 2 3 1 2 31 1 1x x x x x x− − − = , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 2
2
3
2
x
f x x x
= + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )22
3 4
'
2
x x
f x
x x
−
=
+ −
, ( )1,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) ( )2 17
3
f x f x+ ≥ , pentru orice ( ]1, 2x ∈ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2
1f x x x= − .
5p a) Arătați că ( )
( )
7
2
3
20
1
f x dx
x
=
−
 .
5p b) Arătați că ( )
3
2
1
2
x dx
f x = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p c) Arătați că ( )1 2
0
5
4
x
x
x f e e
dx
e
−
= .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) 2
3 4 4 3 4 4i i i i i i− + − = − + − = 3p
3 1 4= + = 2p
2. ( )1 2f = 2p
( )( ) ( )( ) ( )1 1 2 0f f f f f= = =
 3p
3. 2 2 6 6x x− + = , deci 2 2 0x x− = 2p
0x = sau 2x = , care convin 3p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 4 numere divizibile cu 3 și cu 7 , deci sunt
4 cazuri favorabile, de unde obținem 4 2
90 45
p = = 3p
5. 0 0
,
2 2
a b
A + + 
 
  3p
2a = și 4b = 2p
6. Triunghiul ABD este dreptunghic în D și 8BD = 3p
100 64 6AD = − = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
3 5 3 5
2 det 2 3 3 5 1
1 3 1 3
B B
 
=  = = ⋅ − ⋅ = 
  3p
9 5 4= − = 2p
b) ( ) ( ) 1 1 2 3 2 4 1 2
0 1 2 2
1 1 0 1 2 4 1 2
B B A
      
⋅ = = = =      
− − − − − −       3p
2aA A= , de unde obținem 2a = 2p
c) ( ) 3 1 6 1
3 1 6 1
x x
A B x x x
− − 
⋅ =  
− + − +  , pentru orice număr real x , ( )( )2
4 7
0 3 4 7
A B I − − 
⋅ − =  
  3p
3 1 6 1 4 7
3 1 6 1 4 7
x x
x x
− − − −   
=   
− + − +    , de unde obținem 1x = − 2p
2.a) ( )3 2 3 2
2 3 1 1 2 1 3f X X f= + −  = + ⋅ − = 3p
1 2 3 0= + − = 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 2 1 1 3 2f m m− = − + − + − − = − − 3p
2 0m− − = , de unde obținem 2m = − 2p
c) ( )( )( ) ( )1 2 31 1 1 1x x x f m− − − = = , pentru orice număr real m 3p
1 2 3 3x x x = , deci 3m = 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2 2
22
6 2 3 2 1
2
x x x x x
f x
x x
+ − − +
′ = =
+ −
3p
( )
( )
( )
2
2 22 2
3 43 12
2 2
x xx x
x x x x
−−
= =
+ − + −
, ( )1,x ∈ +∞ 2p
b)
( ) 2
2
2
3 3
lim lim lim 3
1 22 1
x x x
x
f x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
= = =
+ − + − 3p
Dreapta de ecuație 3y = este asimptota orizontală spre +∞ la graficul funcției f 2p
c) ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]1, 4x f∈  este descrescătoare pe ( ]1, 4 2p
2
1 2 1 4x x< ≤  < ≤ , deci ( ) ( )2f x f≥ și ( ) ( )2 4f x f≥ și, cum ( )2 3f = și ( ) 8
4 3
f = ,
obținem ( ) ( )2 17
3
f x f x+ ≥ , pentru orice ( ]1,2x ∈
3p
2.a) ( )
( )
7 7 2
2
3 3
7
2 31
f x x
dx x dx
x
= = =
−
  3p
49 9 20
2 2
= − = 2p
b)
( )
( )
( )
3 3
2
2 2
31 ' 1
1 21
xx dx dx
f x xx
−
= = − =
−−
  3p
1 1
1
2 2
= − + = 2p
c) ( ) ( )
1 1 1 2 22
0 0 0
1'
1 2
2 2 0
x x
x x
x
x f e e x
dx x e dx x e dx
e
 
= − = − + =  
 
   3p
2 2 21 1 1 5
2 2
2 4 2 40 0
x x
x xe e e
x e e
    −
= − − − + =      
   
2p