Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2023 – 27 iunie 2023, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numărul complex 3z i= + . Arătați că ( )2 10z z i− = .
5p 2. Se consideră funcția ( ): , 5 1f f x x→ = +ℝ ℝ . Arătați că ( ) ( )2 2 1f x f x− = − , pentru orice
număr real x .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 3 2 2x x x− + = .
5p 4. Se consideră mulțimea A , a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând
un număr n din mulțimea A , numărul 5n + să fie multiplu de 10 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,0A și ( )5, 4B . Determinați ecuația dreptei d
care trece prin punctul O și este paralelă cu dreapta AB .
5p 6. Se consideră triunghiul isoscel ABC , dreptunghic în A , cu aria egală cu 4 . Arătați că 4BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2 1 2
1 1
1 2
A a a
a a
 
 
= − 
 + − 
și sistemul de ecuații
( )
2 2 2
4
1 2
x y z
x y az
ax a y z a
 + + =
 − + =
 + + − =
, unde
a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 8A = .
5p b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care matricea ( )A a este inversabilă.
5p c) Pentru 2a = − , arătați că 0 0 0 2x z y+ = − , pentru orice soluție ( )0 0 0, ,x y z a sistemului de ecuații.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )2 2 2 2x y
x y xy= + − − .
5p a) Arătați că 2 3 18= .
5p b) Arătați că 1e = este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Demonstrați că ( ) 1x x− ≤ , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) 3
3ln 1
x
f x x x
+
= + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )
2 2 15
' 1 3
x x
f x x x
+ −
= − + , ( )1,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Arătați că ( )
3
ln 1
3 1 3
x x
x
+ ≥ −
− , pentru orice ( )1,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 2 x
f x x x e−
= + .
5p a) Arătați că ( )
3
0
18x
f x e dx = .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )1
0
2
2
f x e
dx
x e
−
=
+ .
5p c) Demonstrați că ( )20 0
1
lim 1
x
x
f t dt
x→
 
  =
 
 
 .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )( ) 2 2
2 3 3 3z z i i i i− = + − = − = 3p
9 1 10= + = 2p
2. ( )2 10 1f x x= + , pentru orice număr real x 2p
( ) ( ) ( )2 2 10 1 2 5 1 10 1 10 2 1f x f x x x x x− = + − + = + − − = − , pentru orice număr real x 3p
3. 3 3
2 2x x x− + = , deci 2 2 0x− + = 3p
1x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea A sunt 9 numere n pentru care 5n + este multiplu de 10 , deci sunt 9 cazuri
favorabile, de unde obținem 9 1
90 10
p = = 3p
5. 4ABm = și, cum d AB
 , obținem 4dm = 3p
Ecuația dreptei este ( )0 4 0y x− = − , adică 4y x= 2p
6.
2
BC
AD = , unde AD este înălțime în triunghiul ABC 3p
4
2
ABC
AD BC
∆
⋅
= =
A , de unde obținem 4BC = 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 1 2 2 1 2
0 1 1 0 det 0 1 1 0
0 1 2 0 1 2
A A
 
 
= −  = − = 
 − − 
2p
4 2 0 0 0 2 8= + + − − + = 3p
b)
( )( ) 2
2 1 2
det 1 1 2 8
1 2
A a a a a
a a
= − = − + +
+ −
, pentru orice număr real a 2p
( )( )det 0 2A a a= ⇔ = − sau 4a = , deci matricea ( )A a este inversabilă dacă și numai dacă
{ }\ 2,4a ∈ −ℝ 3p
c) Pentru 2a = − , soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma ( )2, 2 2 ,
α α− − , cu
α ∈ ℂ 3p
0 0 0 2 2 2 2x z y
α α+ = − − = − , pentru orice soluție ( )0 0 0, ,x y z a sistemului de ecuații 2p
2.a) ( )( )2 3
2 3 2 3 2 2 2 2= ⋅ + − − = 3p
6 12 18= + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) ( )( )1
1 1 2 2 2 2 0x
x x x x= ⋅ + − − = + = , pentru orice număr real x 2p
( )( )1
1 1 2 2 2 2 0x
x x x x= ⋅ + − − = + = , pentru orice număr real x , deci 1e = este elementul
neutru al legii de compoziție „  ”
3p
c) ( ) 2 1 2 2 2 2 4x x
x x x −
− = − + − ⋅ − ⋅ + = 2p
2
2 21 1
1 2 2 2 1 2 2 1
2 2
x x
x x
x x   
= − + − ⋅ − + = − − ⋅ − ≤       
, pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )( ) 3 3'' 1 3 ln 3 ln 1 1 3 1
f x x x x x
= + + − − = + − =
+ − 3p
( )( ) ( )( )
2 2
2 3 3 3 3 9 2 15
3 1 3 1
x x x x x x
x x x x
+ − + − − − + −
= =
+ − + − , ( )1,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) 3 3
lim lim 1 ln 1
1x x
f x x
x x x→+∞ →+∞
+ 
= + = 
−  2p
( )( ) 3
lim lim 3ln 0
1x x
x
f x x x→+∞ →+∞
+ 
− = = 
−  , deci dreapta de ecuație y x= este asimptota oblică
spre +∞ la graficul funcției f
3p
c) ( )' 0 3f x x=  = ; ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]1,3x f∈  este descrescătoare pe ( ]1,3 și
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )3,x f∈ +∞  este crescătoare pe [ )3,+∞ , deci ( ) ( )3f x f≥ ,
pentru orice ( )1,x ∈ +∞
3p
( )3 3 3ln 3f = + , deci 3
3ln 3 3ln 3
1
x
x x
+
+ ≥ +
− , pentru orice ( )1,x ∈ +∞ , de unde obținem
( )
3
ln 1
3 1 3
x x
x
+ ≥ −
− , pentru orice ( )1,x ∈ +∞
2p
2.a)
( ) ( )
3 3 3
2 2
0 0
3
2 3 0
x x
f x e dx x x dx x
 
= + = + =  
 
  3p
27 9 18
3
= + = 2p
b) ( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1 1'
2 0 0
x x xf x dx x e dx x e e
x
− − −
= − = − − =
+  3p
1 1 2
1 e
e e e
−
= − − + = 2p
c)
( )
( )
( )
0
2 20 0
0
'
1
lim lim '
x
x
x x
f t dt
f t dt
x x→ →
 
 
      = =
 
 

 2p
( ) ( )
0 0
2
lim lim 1
2 2
x
x x
f x x e
x
−
→ →
+
= = = 3p