Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2023 – sesiunea specială, 16 mai 2023, varianta 6

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )2
2 4 2i i i− + + = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x= + . Determinați numărul real m pentru care
( )( ) 2f f m m= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1
5 3 5 10x x+ − ⋅ = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să aibă cifrele mai mari sau egale cu 7 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,4A , ( )3, 2B − și ( )2 ,C a a , unde a este număr
real nenul. Arătați că dreptele AB și OC sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul a .
5p 6. Se consideră expresia ( ) 2
sin 4cos sin
3 3
x x
E x x= + , unde x este număr real. Arătați că 4
2
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 2
1 2
1 1 1
a a
A a a
a
− 
 
= − 
 − 
și sistemul de ecuații
( )
2 0
2 0
1 0
ax y az
x y az
x y a z
− + =
 − + =
 + + − =
, unde a
este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = .
5p b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
5p c) Pentru 1a = − , determinați soluțiile ( )0 0 0, ,x y z ale sistemului pentru care 2 2 2
0 0 0 3x y z+ + = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )22 2 4 1x y x y x y= − + +∗ .
5p a) Arătați că 0 1 3= −∗ .
5p b) Arătați că ( )1 2x x− ≤∗ , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale nenule, cu m n≤ , pentru care 1m n =∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2
ln 5
5
x
f x x x= − + + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
2
9
' 5 5
x x
f x x x
−
= + + , x ∈ℝ .
5p b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției f în care tangenta la graficul funcției
f este paralelă cu axa Ox .
5p c) Demonstrați că ecuația ( ) 0f x = are soluție unică.
2. Se consideră funcția ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) 3
4
8
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2 3
0
8 8x f x dx+ = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
4
1
4ln 2x f x dx = .
5p c) Calculați ( )30 0
1
lim
x
x
t f t dt
x→
 
 ⋅
 
 
 .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 6
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( )2 2 2
2 4 4 4 4i i i i i i i− + + = − + + + = 3p
4 1 1 2= − − = 2p
2. ( )( ) 6f f m m= +
 , pentru orice număr real m 3p
6 2m m+ = , de unde obținem 6m = 2p
3. 5 5 3 5 10x x
⋅ − ⋅ = , deci 2 5 10x
⋅ = , de unde obținem 5 5x = 3p
1x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
Deoarece cifrele pot fi 7 , 8 și 9 , sunt 3 3 9⋅ = numere naturale de două cifre care au
cifrele mai mari sau egale cu 7 , deci sunt 9 cazuri favorabile, de unde obținem
9 1
90 10
p = =
3p
5. 2ABm = − 2p
1
2
OCm = , pentru orice număr real nenul a și, cum ( ) 1
2 1
2
AB OCm m⋅ = − ⋅ = − , obținem că
dreptele AB și OC sunt perpendiculare, pentru orice număr real nenul a
3p
6. sin 1
2
π = , 3
cos 6 2
π = , 3
sin 3 2
π = 3p
3
1 4 4
2 4
E
π  = + ⋅ = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 1 0 0 1 0
0 1 2 0 det 0 1 2 0
1 1 1 1 1 1
A A
− − 
 
= −  = − = 
 
 
2p
( )0 0 0 0 0 1 1= + + − − − − = 3p
b)
( )( ) ( )2
1 2
det 1 2 1
1 1 1
a a
A a a a
a
−
= − = +
−
, pentru orice număr real a 2p
( )( )det 0 1A a a= ⇔ = − , deci sistemul de ecuații are soluție unică dacă și numai dacă
{ }\ 1a ∈ −ℝ 3p
c) Pentru 1a = − , soluțiile sistemului de ecuații sunt de forma ( ), ,
α α α− − , cu
α ∈ℂ 2p
2 2 2 2
0 0 0 3x y z
α+ + = , deci 2
3 3
α = , de unde obținem 1
α = − sau 1
α = , deci soluțiile sunt
( )1,1, 1− și ( )1, 1,1− − 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 6
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( )22 2
0 1 0 1 4 0 1 1= ⋅ − + + =∗ 3p
0 4 1 3= − + = − 2p
b) ( ) 2
1 3 8 3x x x− = − + − =∗ 2p
( )22
3 6 3 2 3 1 2 2x x x x x x= − + − + = − − + ≤ , pentru orice număr real x 3p
c) ( )22 2 4 1 1m n m n− + + = și, cum m și n sunt numere naturale nenule, obținem
2 2 0mn m n− − = 2p
( )( )2 2 4m n− − = și, cum m și n sunt numere naturale nenule, cu m n≤ , perechile sunt
( )3,6 și ( )4,4 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
1 2 1
' 5 5
x
f x x x
+
= − =
+ + 3p
( ) ( )
2 2
2 2
5 10 5 9
5 5 5 5
x x x x x
x x x x
+ + − − −
= =
+ + + + , x ∈ℝ 2p
b) Tangenta la graficul funcției f în punctul de coordonate ( )( ),a f a este paralelă cu axa
( )' 0Ox f a⇔ = 3p
2 9 0a a− = , de unde obținem 0a = sau 9a = 2p
c) ( )' 0f x ≥ , pentru orice ( ],0x f∈ −∞  este crescătoare pe ( ],0−∞ ; ( )' 0f x ≤ , pentru
orice [ ]0,9x f∈  este descrescătoare pe [ ]0,9 , deci ( ) ( )0f x f≤ , pentru orice
( ],9x ∈ −∞
2p
( )' 0f x > , pentru orice ( )9,x f∈ +∞  este strict crescătoare pe ( )9,+∞ și, cum
( )0 ln 5 0f = − < , ( )lim
x f x
→+∞ = +∞ și f este continuă, obținem că ecuația ( ) 0f x = are
soluție unică
3p
2.a)
( ) ( )
2 2
3 2
0 0
2
8 4 2
0
x f x dx x dx x+ = = =  3p
8 0 8= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
34 4 42 3
3 3
1 1 1
' 484 4 4 ln 8
3 38 8 1
xx
x f x dx dx dx x
x x
+
= = = ⋅ + =
+ +
   3p
4 ln 8 4ln 2
3
= = 2p
c)
( )
( )
( ) ( )0
3 230 0 0
0
'
1
lim lim lim
' 3
x
x
x x x
t f t dt
x f x
t f t dt
x xx→ → →
 
 ⋅
   ⋅  ⋅ = = =
 
 

 3p
( )30
4 1
lim 63 8x x→
= =
+ 2p