Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2023 – sesiunea august–septembrie, 17 august 2023, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 6a al progresiei aritmetice   1n n
a  , cu 1 3a  și 5 23a  .
5p 2. Se consideră funcția :f   ,   2 6 8f x x x   . Determinați numărul real m , știind că punctul
 , 1A m  aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1 1
3 9 3x x 
  .
5p 4. Se consideră mulțimea  1, 2,3, 4,5A  . Determinați numărul submulțimilor nevide ale mulțimii A ,
care au cel mult două elemente.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele  3,1A și  4, 4B . Determinați coordonatele
punctului C , știind că OA BC
  .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 6AB  și înălțimea 3AD  . Arătați că raza
cercului circumscris triunghiului ABC este egală cu 2 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea   1 1
1 1
x x x
A x x
x
 
 
  
    
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că   det 1 0A  .
5p b) Arătați că          2 0A x A y A xy x y A     , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numerele reale x și y pentru care        1 3A A A x A y    .
2. Se consideră polinomul 4 3 2
2 8 3f X X X mX m     , unde m este număr real.
5p a) Pentru 2m  , arătați că  1 3f  .
5p b) Pentru 0m  , determinați rădăcinile polinomului f .
5p c) Determinați numărul rațional m pentru care polinomul f are rădăcina 1 1 3x   .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f   ,   2
3
1
x
e
f x x x
   .
5p a) Arătați că    
 
2
22
3
'
1
x
e x x
f x
x x


 
, x  .
5p b) Arătați că  
 
2
lim
x
f x
f x
  .
5p c) Demonstrați că ecuația  f x m are exact trei soluții, pentru orice  ,3m e .
2. Se consideră funcția  : 1,f     ,    6 ln 1f x x x   .
5p a) Arătați că     
2
1
ln 1 9f x x dx   .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că  1
0
6 1
1 2
e f x x dx
x
  
 .
5p c) Determinați numărul real a , știind că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției
:g   ,    2
g x f x , axa Ox și dreptele de ecuații 0x  și 1x  este egală cu ln 2a
  .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 5 14 20r a a= − = , deci 5r = , unde r este rația progresiei aritmetice 3p
6 5 6 28a a r a= +  = 2p
2. ( ) 1f m = − , de unde obținem 2 6 9 0m m− + = 3p
3m = 2p
3. 2 1 3
3 3x x− +
= , de unde obținem 2 1 3x x− = + 3p
4x = 2p
4. 1 2
5 5C C+ = 3p
5 10 15= + = 2p
5. 3OA i j= +



   , ( ) ( )4 4C CBC x i y j= − + −



   3p
7Cx = și 5Cy = 2p
6. Triunghiul ADB este dreptunghic în D , deci 3 3BD = 2p
4 3BC = , deci 2 3R = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 det 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
A A
 
 
=  = = 
 − − − − − − 
2p
1 1 1 1 1 1 0= − − − + + + = 3p
b)
( ) ( ) ( )
0 0 0
2 0 2
2 0 2
A x A y A xy y x y x
y x y x
 
 
⋅ − = + − + − = 
 − − + − − + 
3p
( ) ( ) ( )
0 0 0
2 1 0 1 2 0
1 0 1
y x x y A
 
 
= + − = + − 
 − − 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 3 5 0A A A x A A x A x x A− ⋅ ⋅ = − ⋅ = − + − , pentru orice număr real x 2p
( ) ( ) ( ) ( )3 5 0A x x A A y− + − = , de unde obținem 5x = și 15y = − 3p
2.a) ( )4 3 2 4 3 2
2 8 6 2 1 1 2 1 8 1 6 1 2f X X X X f= + − + +  = + ⋅ − ⋅ + ⋅ + = 3p
1 2 8 6 2 3= + − + + = 2p
b) ( )4 3 2 2 2
2 8 2 8f X X X X X X= + − = + − 2p
Rădăcinile polinomului f sunt 1 2 0x x= = , 3 4x = − , 4 2x = 3p
c) Polinomul f are coeficienți raționali, deci 2 1 3x = − este rădăcină a polinomului f 2p
1 2 3 4 2x x x x+ + + = − și 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 8x x x x x x x x x x x x+ + + + + = − , unde 3x și 4x sunt
celelalte rădăcini ale polinomului f , de unde obținem 3 4 4x x+ = − și 3 4 2x x = și, cum
1 2 3 4x x x x m= , rezultă 4m = − , care convine
3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2
22
3 1 3 2 1
'
1
x x
e x x e x
f x
x x
+ + − +
= =
+ +
3p
( )
( )
( )
( )
2 2
2 22 2
3 1 2 1 3
1 1
x x
e x x x e x x
x x x x
+ + − − −
= =
+ + + +
, x∈ℝ 2p
b) ( )
( )
2 2
2
2 3 1
lim lim 4 2 1 3
x
xx x
f x e x x
f x x x e→+∞ →+∞
+ +
= ⋅ =
+ + 2p
2 2
2
2
1 1
1
1
lim lim 2 14 2 1 4
x x
x x
x x x xe e
x x
x x
→+∞ →+∞
 
+ +  + +
= ⋅ = ⋅ = +∞   + +    + + 
 
3p
c) ( )' 0 0f x x= ⇔ = sau 1x = ; pentru orice ( ),0x ∈ −∞ , ( )' 0f x f>  este strict
crescătoare pe ( ),0−∞ ; pentru orice ( )0,1x ∈ , ( )' 0f x f<  este strict descrescătoare pe
( )0,1 ; pentru orice ( )1,x ∈ +∞ , ( )' 0f x f>  este strict crescătoare pe ( )1, +∞
2p
( )lim 0
x f x
→−∞ = , ( )0 3f = , ( )1f e= , ( )lim
x f x
→+∞ = +∞ și, cum f este continuă, obținem că
ecuația ( )f x m= are exact trei soluții, pentru orice ( ),3m e∈ 3p
2.a)
( ) ( )( )
2 2 2
1 1
2
ln 1 6 3 1
f x x dx xdx x− + = = =  3p
12 3 9= − = 2p
b) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 2
0 0
16 ln 1
'ln 1 ln 1
1 2 0
e e ef x x x
dx x x dx
x
− − −− +
= + + = =
+  3p
2 2
ln ln 1 1
2 2 2
e
= − = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2
2 2 3 2
2
0 0 0
1 2
6 ln 1 2 'ln 1 2 ln 2 10
x
g x x x g x dx x x x dx dx
x
= + +  = = + + = + − =
+
  
A 3p
1 1
2 ln 2 2 2arctg ln 2
20 0
x x
π
= + − + = + , deci ln 2 ln 2
2 a
π π+ = + , de unde obținem 1
2
a = 2p