Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2023 – 28 martie 2023

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că    2 1 2 1i i i    , unde 2 1i   .
5p 2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   3 10f x x  . Determinați numărul real a pentru care punctul
 2 ,A a a aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2
2 2 2x x  .
5p 4. Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre, se pot forma cu elementele mulțimii
 0,1, 2,3,4A  .
5p 5. Determinați numărul real a pentru care vectorii  1u ai a j  
  și 2v i j 
  sunt coliniari.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu măsura unghiului B egală cu 6
 și 24BC  .
Bisectoarea unghiului C al triunghiului ABC intersectează latura AB în punctul D . Determinați
lungimea segmentului CD .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
  
 
 
și  
1 1 1
0 0
1 1 1
x
A x x
x
  
 
  
   
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că   det 1 3A  .
5p b) Determinați numărul real x pentru care      0 0A A x A  .
5p c) Determinați numerele reale a și b pentru care     
1
31 1A aA bI
   , unde    1
1A  este
inversa matricei  1A .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 1 2xy
x y xy x y      .
5p a) Arătați că 1 2 8  .
5p b) Arătați că 0e  este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Determinați numărul natural nenul n pentru care 1 0n n
 
   
  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția  : 0,f   ℝ ,   2 1 lnx x
f x x
 
 .
5p a) Arătați că   2
ln
' x
f x x
  ,  0,x   .
5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre  la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ln ln 1 1y x
y x x y
   , pentru orice  , 1,x y   cu x y .
2. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,   3
f x x x  .
5p a) Arătați că   
5 3
3
8f x x dx  .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că  
2 2
0
ln 5
2 3
x dx
f x x 
  .
5p c) Se consideră funcția      : 0, ,
x
f x e
g g x x

  ℝ . Arătați că orice primitivă  : 0,G   ℝ
a funcției g este concavă.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.     2
2 1 2 2 2 2i i i i i i        3p
2 1 1   2p
2.  2 6 10f a a a a    3p
2a   2p
3. 2 2
2 2 4x x  , de unde obținem 2 1 0x   2p
1x   , care nu convine; 1x  , care convine 3p
4. Cifra unităților se poate alege în două moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în 5 moduri și, pentru
fiecare alegere a cifrei unităților și a cifrei zecilor, cifra sutelor se poate alege în 4 moduri,
deci se pot forma 2 5 4 40   de numere
3p
5. 1
1 2
a a 
 3p
1a   2p
6.
12AC  ; 6
ACD

∢ 3p
cos 6
AC
CD

 , de unde obținem 8 3CD  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
          
2 1 1
det 1 0 1 0 2 1 2 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 2 0 1 2
1 1 2
A

                       

3p
4 0 0 1 0 0 3       2p
b)
 
1 1 1
0 0 0 0
1 1 1
A
 
 
  
  
,    
2 2 2
0 0 0 0
2 2 2
x x x
A A x
x x x
    
 
   
     
, pentru orice număr real x 3p
1x   2p
c)
          
1
3 31 1 1 1 1A aA bI aA A bA I
       și    
5 4 4
1 1 0 1 0
4 4 5
A A
 
 
   
  
, de unde
obținem
5 2 4 4 1 0 0
0 0 0 1 0
4 4 5 2 0 0 1
a b a b a b
a b
a b a b a b
      
   
    
         
3p
1
3
a   și 4
3
b  2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2.a) 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 
        3p
4 4 8   2p
b) 0
0 0 0 1 2x
x x x x
        , pentru orice număr real x 2p
0
0 0 0 1 2 x
x x x x
        , pentru orice număr real x , deci 0e  este elementul neutru
al legii de compoziție „  ” 3p
c) 2
1 2 3 2
2
n n
n n n
  
   
  , pentru orice număr natural nenul n 2p
2 22 3 2 0 2 3 2 0
2
n n n n
n
       și, cum n este număr natural nenul, obținem 2n  3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
 
 
2
1
2 2 1 lnx x x
x
f x x
 
     
    3p
2 2
2 1 2 1 ln lnx x x x
x x
   
   ,  0,x   2p
b)   2 1 ln 1
lim lim lim 2 2
x x x
x x
f x x x  
   
    
  3p
Ecuația asimptotei orizontale spre  la graficul funcției f este 2y  2p
c)  ' 0f x  , pentru orice  1,x f   este strict descrescătoare pe  1,  2p
   1 x y f x f y    , deci ln ln 1 1y x
y x x y
   , pentru orice  , 1,x y   cu x y 3p
2.a)
  
5 5 2
3
3 3
5
2 3
x
f x x dx x dx     3p
25 9 8
2 2
   2p
b)
 
   
32 2 22 2 3
3 3
0 0 0
' 221 1 ln 2
2 3 32 2 0
xx x
dx dx dx x
f x x x x

    
   
   3p
ln10 ln 2 ln 5
3 3 3
   2p
c)    2 1 x
g x x e
  și    'G x g x , pentru orice  0,x   , deci    2
'' 2 1 x
G x x x e
    3p
   2
'' 1 0x
G x x e
    , pentru orice  0,x   , deci funcția G este concavă 2p