Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2023 – 28 martie 2023

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
 Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 1 2z i  și 2 1z i  . Arătați că 2
1 24 1z z  .
5p 2. Se consideră funcțiile :f ℝ ℝ ,   3 1f x x  și :g ℝ ℝ ,   2
g x x x m   , unde m este
număr real. Determinați numărul real m pentru care graficele funcțiilor f și g au exact un punct
comun.
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația    2
lg 9 2lg 10x x  .
5p 4. Se consideră mulțimea A , a numerelor naturale de cel mult două cifre. Determinați probabilitatea
ca, alegând un număr din mulțimea A , acesta să fie divizibil cu 9 .
5p 5. În triunghiul ABC , punctul M este mijlocul laturii AC , iar punctele D și E aparțin
segmentului AB , astfel încât AD BE . Arătați că MD ME CB 
   .
5p 6. Determinați  0,x
 pentru care sin 2 1 cos 2x x  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea  
1 2
1 1
2 2 1
a
A a a
 
 
  
 
 
și sistemul de ecuații
2 2
4
2 2 2
ax y z
x ay z
x y z
   
   
   
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că   det 0 1A  .
5p b) Determinați mulțimea numerelor reale a pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.
5p c) Pentru 1a  , determinați soluțiile  0 0 0, ,x y z ale sistemului pentru care 0x , 0y și 0z sunt numere
întregi și 0 0 0x y z  .
2. Pe mulțimea  1,1M   se definește legea de compoziție
  2 2
1 1 1
xy
x y
x y
 
  
.
5p a) Arătați că 1 1
1 2 2
  .
5p b) Arătați că   2
x x x    , pentru orice x M .
5p c) Determinați perechile  ,a b de numere din mulțimea M pentru care 1a b  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f ℝ ℝ ,    2
1 ln x
f x x e x    .
5p a) Arătați că    
2
2
' x
x x
f x e x

  , x  ℝ .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care tangenta la graficul funcției f în punctul de coordonate
  ,a f a este paralelă cu axa Ox .
5p c) Determinați imaginea funcției f .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția  : 3,f    ℝ ,   2 1
3
x
f x x

  .
5p a) Arătați că  
3
0
3 12f x x dx  .
5p b) Arătați că  1
2
2
2
1
f x dx
x


 .
5p c) Demonstrați că  
1
0
1
2
dx
f x

 .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
 Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
 Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
 Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.    22 2
1 24 1 2 4 1 1 4 4 4 4z z i i i i i           3p
 5 4 1 5 4 1       2p
2.     2 2 1 0f x g x x x m      2p
0  și, cum 8 4m   , obținem 8 4 0m  , deci 2m  3p
3.    2 2 2 2
lg 9 lg 10 9 10x x x x     , de unde obținem 2 1 0x   3p
1x   , care nu convine; 1x  , care convine 2p
4. Mulțimea A are 100 de elemente, deci sunt 100 de cazuri posibile 2p
Numerele din mulțimea A , divizibile cu 9 , sunt 9 0 , 9 1 , 9 2 , ... 9 11 , deci sunt 12
cazuri favorabile, de unde obținem 12 3
100 25
p   3p
5. MD MA AD 




 


 


 și ME MC CB BE  



 



 


 


 2p
0 0MD ME MA MC AD BE CB CB CB         




 


 


 



 


 


 


   


 


 3p
6.  2
2sin cos 2 cos 2 cos sin cos 0x x x x x x    2p
Cum  0,x
 , obținem 2
x

 sau 4
x

 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
      
0 1 2
det 0 1 0 1 0 0 1 1 1 2 1 2 2 2 0 2 1 1 1 1 2 0
2 2 1
A                        3p
0 2 4 0 1 0 1       2p
b)     2
det 1A a a  , pentru orice număr real a 3p
  det 0 1A a a   , deci sistemul are soluție unică pentru  \ 1a  ℝ 2p
c) Pentru 1a  , soluțiile sistemului de ecuații sunt  , 2 , 2
   , unde
  ℂ 2p
Cum
 este număr întreg și 2 2
     , obținem 2
  sau 3
  , deci soluțiile sunt
 2,0, 2 și  3, 1, 2  3p

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare și de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a)
  2
2
1
1
1 21 2 1
1 1 1 1 2

  
  
       
3p
1
12
21 0
 

2p
b)
  2 2
22 21 1
x x
x x xx
 
      , pentru orice x M 3p
    2 2
2
2
1 0
2
x x
x x x x

    
 , deci   2
x x x    , pentru orice x M 2p
c)   2 2
1 1 1 1a b a b ab       , deci 1ab  3p
Cum ,a b M , obținem 1ab  , deci perechile sunt  1, 1  și  1,1 , care convin 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)    2
1
1 2x
x
f x e x
e x
     
 3p
 2
2 2
22
x x
x xx x
e x e x

 
  , xℝ 2p
b) Tangenta la graficul funcției f în punctul de coordonate   ,a f a este paralelă cu axa
 ' 0Ox f a  3p
 
2
2 0 0a
a a a
e a
   
 sau 2a  2p
c) Pentru orice  ,0x   ,  ' 0f x  , deci f este crescătoare pe  ,0 ; pentru orice
 0, 2x  ,  ' 0f x  , deci f este descrescătoare pe  0, 2 ; pentru orice  2,x   ,
 ' 0f x  , deci f este crescătoare pe  2, 
2p
Cum f este continuă,  lim
x f x
   ,  0 1f   și  lim 1
x f x
   , imaginea funcției
f este  , 1 
3p
2.a)
   
3 3 3
2
0 0
3
3 1 3 0
x
f x x dx x dx x
 
       
 
  3p
9 3 12   2p
b)    1 1
2
2 2
1'3 2 3
31 2
f x x
dx dx x
xx 

   
 
  3p
4 2 2   2p
c)
  2 2
1 3 2
1 1
x
f x x x

 
  , pentru orice  0,1x  , de unde obținem  
1 1
2
0 0
1 1
2 1
dx dx
f x x
 

  3p
1
2arctg 20
x

  2p