Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M4 Pedagogic 2023

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2023
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Model
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că1
2 1
2 5
5 2
−
  + = 
  .
5p 2. Se consideră funcția:f → ,( )
1f x x= + . Determinați numărul reala pentru care( )
f a este
media aritmetică a numerelor( )
1f și( )
5f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația2 1 3 5x − + = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea 
1, 2,3,..., 2022M = , acesta să fie
multiplu de 2.
5p 5. În reperul cartezianxOy se consideră punctele( )
1,3A ,( )
2, 1B − − și( )1, 1C − . Arătați că
triunghiulABC este dreptunghic.
5p 6. Lungimea razei cercului circumscris triunghiuluiABC este5 , iar10BC = . Calculațisin A .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă( )
8 56x y xy x y= + + + .
5p 1. Arătați că( ) ( )
5 6 2− − = − .
5p 2. Demonstrați că( )( )
8 8 8x y x y= + + − , pentru orice numere realex șiy .
5p 3. Arătați că7e = − este elementul neutru al legii de compoziție„ ” .
5p 4. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația( )
2 8x x +  − .
5p 5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația( )
2 7 16x − = .
5p 6. Determinați numărul reala pentru care( ) ( )
2 1 2a a a= + .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele2
1 0
0 1
I  
=  
  ,0 3
2 1
A  
=  
  şi( )
2M x I xA= + , undex este număr real.
5p 1. Arătați cădet 6A = − .
5p 2. Demonstrați că( )
1 3
2 1
x
M x x x
 
=  
+  , pentru orice număr realx .
5p 3. Arătați că suma elementelor matriceiB este pătratul unui număr natural, unde( ) ( ) ( )
1 1 1B M M= −  − 
.
5p 4. Determinați numerele realex pentru care( )
( )
det 0M x = .
5p 5. Arătați că matriceaC este inversabilă, unde( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 4C M M M M= − + − .
5p 6. Determinați perechile( )
,a b de numere naturale pentru care2( ) ( )aM b bM a I+ = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.1
2 5
5 2
−
  = 
  ,1 5
2 2 2
= 3p1
2 1 5 5
2 5
5 2 2 2
−
  + = + = 
 
2p
2.( )
1f a a= + ,( )
1 2f = ,( )
5 6f = 3p2 6
1 2
a +
+ =
, de unde obținem3a = 2p
3.2 1 2x − = , de unde obținem1 1x − = 3p2x =
, care convine 2p
4. MulțimeaM are 2022 de elemente, deci sunt2022 de cazuri posibile 2p
Multiplii de2 dinM sunt2 1 ,2 2 ,2 3 , … ,2 1011 , deci sunt1011 cazuri favorabilenr. cazuri favorabile 1
nr. cazuri posibile 2
p = = 3p
5.3BC = ,4AC = ,5AB = 3p2 2 2
BC AC AB+ =
, deci triunghiulABC este dreptunghic înC 2p
6.10 2 5
sin A =  3psin 1A =
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 6 5 6 8 5 6 56− − = −  − + − − + = 3p30 88 56 2= − + = −
2p
2.8 8 64 8x y xy x y= + + + − = 3p( ) ( ) ( )( )
8 8 8 8 8 8 8x y y x y= + + + − = + + −
, pentru orice numere realex șiy 2p
3.( ) ( )( )
7 8 7 8 8 8 8x x x x− = + − + − = + − = , pentru orice număr realx 2p( ) ( )( )
7 7 8 8 8 8 8x x x x− = − + + − = + − =
, pentru orice număr realx , deci7e = − este
elementul neutru al legii de compoziție„ ” 3p
4.( ) ( )( )
2 8 10 8x x x x+ = + + − 2p( )( ) ( )( )
8 10 8 8 8 10 0x x x x+ + −  −  + + 
, de unde obținem 
10, 8x  − − 3p
5.( )
2 7 2x x
− = 3p4
2 2x =
, de unde obținem4x = 2p
6.1 9 64a a= + ,2 10 72a a= + 3p18 128 11 72a a+ = +
, de unde obținem8a = − 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.0 3
det 0 1 2 3
2 1
A = =  −  = 3p0 6 6= − = −
2p
2.( )
1 0 0 3
0 1 2
x
M x x x
   
= + =   
    3p1 3
2 1
x
x x
 
=  + 
, pentru orice număr realx 2p
3.( ) ( )
5 3
1 1 2 6
M M − − 
−  =  
− −  ,( ) ( ) ( )
5 3
1 1 1 2 6
B M M  
= −  −  =  
  3p5 3 2 6 16+ + + =
, care este pătratul numărului natural4 2p
4.( )
( )
2
det 1 6M x x x= + − 2p2
6 1 0x x− − =
, deci1
3
x = − sau1
2
x = 3p
5.0 6
4 2
C − 
=  
− −  3pdet 24 0C = − 
, deci matriceaC este inversabilă 2p
6.( ) ( )
3 3 6
2 2 4 2
a ab b ab a b ab
aM b bM a ab ab a ab ab b ab ab a b
+     
+ = + =     
+ + + +      2p6 1 0
4 2 0 1
a b ab
ab ab a b
+   
=   
+ +   
, de unde obținem perechile de numere naturale( )
0,1 și( )
1,0 3p