Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M3 Tehnologic 2023

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 1a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 2 7a = și 6 23a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 8 5f x x= − . Determinați numărul real a pentru care punctul
( ),3A a a aparține graficului funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )4 4 4log log 3 log 12x x+ = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
n să fie număr natural par.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,2A − , ( )1, 4B și ( )6,0C . Determinați distanța
dintre mijloacele segmentelor AB și OC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 16BC = și măsura unghiului B egală cu 30° .
Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 32 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 3
2 1
A − 
=  
− − 
și ( ) 1 3
2 1
x
B x x
+ − 
=  
− 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 9A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )3 4 1B B xB⋅ = .
5p c) Determinați numărul real a pentru care matricea ( )B a este inversa matricei 1
9
C A= .
2. Se consideră polinomul 3 2 4f X X mX= + + − , unde m este număr real.
5p a) Pentru 1m = , arătați că ( )2 10f = .
5p b) Pentru 4m = − , determinați rădăcinile polinomului f .
5p c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul m , polinomul f nu are toate rădăcinile reale.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 2,f − +∞ → ℝ , ( ) 2 2 1
2
x x
f x x
− +
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
2
4 5
'
2
x x
f x
x
+ −
=
+
, ( )2,x ∈ − +∞ .
5p b) Arătați că ( )lim 0xx
f x
e→+∞
= .
5p c) Demonstrați că funcția f este convexă.
2. Se consideră funcția ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 1
1 1
f x x x
= + + + .
5p a) Arătați că ( )
3
1
1 6
1
f x dx
x
 
− = 
+ 
 .
5p b) Arătați că ( )( )
8
0
1 4f x x dx− − = .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției [ ]: 0,3g → ℝ ,
( ) ( )g x f x= , este egal cu 91 ln 4
3
π  
+ 
  .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 6 2 4a a r= + , deci 4 16r = , de unde obținem 4r = , unde r este rația progresiei aritmetice 3p
1 2 7 4 3a a r= − = − = 2p
2. ( ) 3 8 5 3f a a a a= ⇔ − = 3p
1a = 2p
3. ( )2
4 4log 3 log 12x = , de unde obținem 2
3 12x = 3p
2x = − , care nu convine; 2x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
Numerele naturale n , de două cifre, pentru care n este număr natural par sunt 16 , 36 și
64 , deci sunt 3 cazuri favorabile, de unde obținem 3 1
90 30
p = = 3p
5. ( )1,3M − și ( )3,0N , unde punctele M și N sunt mijloacele segmentelor AB , respectiv
OC 2p
( ) ( )2 2
3 1 0 3 25 5MN = + + − = = 3p
6. 1
sin 2 16
AC AC
B BC
=  = , deci 8AC = 2p
2 2 8 3AB BC AC= − = și, cum 2
ABC
AB AC
∆
⋅
=
A , obținem 8 8 3 32 3
2
ABC∆
⋅
= =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
3 3
det 3 1 3 2
2 1
A −
= = − ⋅ − − ⋅ − =
− − 3p
3 6 9= + = 2p
b) ( ) 4 3
3 2 2
B − 
=  
 
și ( ) ( ) ( )
5 3 14 21
4 3 4
2 3 14 0
B B B
− −   
=  ⋅ = =   
    3p
( )
2 3
7 7 1
2 0 B
− 
= = 
 
, de unde obținem 7x = 2p
c)
( )
1 2
3 3
2 4 7
9 9
a a
C B a a a
− + + 
 
⋅ =  
− − − + 
 
 
, pentru orice număr real a 2p
( ) ( ) 2C B a B a C I⋅ = ⋅ = , de unde obținem 2a = − 3p

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) ( )3 2 3 2
4 2 2 2 2 4f X X X f= + + −  = + + − = 3p
8 4 2 4 10= + + − = 2p
b) ( )( )( )3 2 4 4 1 2 2f X X X f X X X= + − −  = + − + 2p
Rădăcinile polinomului f sunt 2− , 1− și 2 3p
c) 1 2 3 1x x x+ + = − , 2 2 2
1 2 2 3 3 1 1 2 3 1 2x x x x x x m x x x m+ + =  + + = − , unde 1x , 2x și 3x sunt
rădăcinile polinomului f 3p
Cum m este număr natural nenul, obținem 2 2 2
1 2 3 0x x x+ + < , deci polinomul f nu are toate
rădăcinile reale 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( ) ( )
( )
2
2
2 2 2 2 1 1
'
2
x x x x
f x
x
− + − − + ⋅
= =
+
3p
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 4 2 4 2 1 4 5
2 2
x x x x x x x
x x
+ − − − + − + −
= =
+ +
, ( )2,x ∈ − +∞ 2p
b) ( )
( ) ( )
2 2 1 2 2
lim lim lim
2 3x x xx x x
f x x x x
e e x e x→+∞ →+∞ →+∞
− + −
= = =
+ + 3p
( )
2
lim 0
4xx e x→+∞
= =
+ 2p
c) ( ) ( )3
18
''
2
f x
x
=
+
, ( )2,x ∈ − +∞ 3p
( )'' 0f x > , pentru orice ( )2,x ∈ − +∞ , de unde obținem că funcția f este convexă 2p
2.a)
( ) ( )
3 3 2
1 1
31 1 21 1
x
f x dx x dx x
x
  
− = + = + =    +   
  3p
9 1
3 1 6
2 2
= + − − = 2p
b)
( )( ) ( )
8 8 8
0 0 0
81 1
1 2 1 2 1
1 2 1 0
f x x dx dx x dx x
x x
′− − = = + ⋅ = + =
+ +
   3p
2 3 2 1 4= ⋅ − ⋅ = 2p
c)
( ) ( )
3 3 22
0 0
1
1 2 1 1
V g x dx x x dx
x
π
π  
= = + + + + = 
+ 
  2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 2
0
31 1 11
1 1 2 1 4 ln 1
1 3 3 0
x x x
x x x dx x
x
π
π  + + + ′  = + + + + + = + ⋅ + + =   +   

64 32 1 4 91
ln 4 ln 4
3 3 3 3 3
π
π
   
= + + − − = +   
   
3p