Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2023

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numerele 5 2 6− , 1 și 5 24+ sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x ax= + , unde a este număr real nenul. Determinați
numărul real nenul a pentru care ( )( )1 1f f = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația
2
1
2 32
4
x
x −
 
⋅ = 
  .
5p 4. Determinați numărul de submulțimi ordonate, cu câte două elemente, care se pot forma cu
elementele mulțimii { }0,1,2,3,4M = .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A − și ( )2,5B . Determinați ecuația dreptei d
care trece prin punctul B și este perpendiculară pe dreapta AB .
5p 6. Arătați că ( )( )tg 1 ctg 1 2ctg2x x x+ − = , pentru orice 0, 2
x
π 
∈ 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 1
1 1
2 4
a a
A a a
a
+ 
 
= − 
 − 
și sistemul de ecuații
( )1
4
2 4 4
ax y a z a
x ay z
x ay z
 + + + =
 + − =
 − + = −
, unde
a este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 9A = − .
5p b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui a pentru care sistemul are soluție unică.
5p c) Arătați că, dacă sistemul are soluția unică ( )0 0 0, ,x y z , atunci 0 0 0 2x y z+ + = .
2. Se consideră polinomul 3 2
3 2f X X X m= − + + , unde m este număr real.
5p a) Pentru 6m = , arătați că ( )1 0f − = .
5p b) Determinați numărul real m pentru care polinomul f este divizibil cu polinomul 2 2g X= + .
5p c) Determinați numărul real m pentru care 3 3 3
1 2 3 0x x x+ + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile
polinomului f .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 1
x
x
f x x e
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) 2 1
' 1 2 1x
x
f x e x
+
= − + , ( )1,x ∈ − +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ( ) 2
e
f x x− ≤ , pentru orice ( )1,x ∈ − +∞ .
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2 lnf x x x x= + .
5p a) Arătați că ( )( )
2
1
3 ln 7f x x x dx− = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
3
1
1
2 1
e f x dx ex
 
= − 
 
 .
5p c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției [ ): 1,g +∞ → ℝ , ( ) ( )
1x
g x f x
+
= , axa Ox și
dreptele de ecuații 1x = și x e= are aria strict mai mare decât 1.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) ( )( ) 22
5 2 6 5 24 5 24 5 24 5 24− + = − + = − = 3p
2
25 24 1= − = , deci numerele 5 2 6− , 1 și 5 24+ sunt termeni consecutivi ai unei
progresii geometrice 2p
2. ( )1 1f a= + , ( )( ) ( )1 1 1f f a a= + +
 , pentru orice număr real nenul a 3p
( )1 1 1a a + + = , deci ( )1 0a a + = și, cum a este număr real nenul, obținem 1a = − 2p
3. 4 2 3 4 5
2 2 32 2 2x x x− + −
⋅ =  = , de unde obținem 3 4 5x − = 3p
3x = 2p
4. 2
5
5!
3!
A = = 3p
4 5 20= ⋅ = 2p
5. 1ABm = și, cum d AB⊥ , obținem 1dm = − 3p
Ecuația dreptei d este ( )5 1 2y x− = − − , adică 7y x= − + 2p
6.
( )( ) 2 2
sin cos cos sin
tg 1 ctg 1 1 1
cos sin cos sin
x x x x
x x x x x x
−  
+ − = + − = =  
   2p
cos 2 2ctg2
1 sin 2
2
x x
x
= = , pentru orice 0, 2
x
π 
∈ 
  . 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 1 2 1 1 2
1 1 1 1 det 1 1 1 1
2 1 4 2 1 4
A A
 
 
= −  = − = 
 − − 
2p
4 2 2 4 1 4 9= − − − − − = − 3p
b)
( )( )
1 1
det 1 1 3 6
2 4
a a
A a a a
a
+
= − = − −
−
, pentru orice număr real a 2p
( )( )det 0 2A a a= ⇔ = − ; sistemul de ecuații are soluție unică { }\ 2a⇔ ∈ −ℝ 3p
c) Adunând ultimele două ecuații ale sistemului, obținem 0 0 0x z+ = 2p
0 0y z a+ = , 0 02 4ay z− = , deci ( )( )02 2 0a y+ − = și, cum { }\ 2a ∈ −ℝ , obținem 0 2y = ,
deci 0 0 0 2x y z+ + = 3p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( )3 23 2
3 2 6 1 1 3 1 2 1 6f X X X f= − + +  − = − − − + − + = 3p
1 3 2 6 0= − − − + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) ( )( )2
3 2 6f X X m= − + + + , pentru orice număr real m 3p
f este divizibil cu polinomul g dacă 6 0m+ = , de unde obținem 6m = − 2p
c) 1 2 3 3x x x+ + = și 1 2 2 3 3 1 2x x x x x x+ + = , deci 2 2 2
1 2 3 5x x x+ + = și 3 3 3
1 2 3 9 3x x x m+ + = − ,
pentru orice număr real m 3p
9 3 0m− = , deci 3m = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) 2
1 1
2 11
x x
x
e x e
xf x e
⋅ − + ⋅
+′ = + = 3p
1 2 2 2 1
1 1
2 1 2 1x x
x x
e x e x
− − +
= + = −
+ + , ( )1,x ∈ − +∞ 2p
b) ( ) 2
1 1 1
lim lim 1 1xx x
f x
x xe x→+∞ →+∞
 
= + + =  
  2p
( )( ) 1 1
lim lim lim 0
2 1x xx x x
x
f x x e e x→+∞ →+∞ →+∞
+
− = = =
+ , deci dreapta de ecuație y x= este
asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f
3p
c) ( ): 1,g − +∞ → ℝ , ( ) ( ) ( ) 2 1
' 2 1x
x
g x f x x g x e x
+
= −  = − + ; ( ) 1
' 0 2
g x x= ⇔ = − 2p
( )' 0g x ≥ pentru orice 1
1, 2
x g
 
∈ − −  
  este crescătoare pe 1
1, 2
 
− − 
  , ( )' 0g x ≤ pentru
orice 1 ,
2
x g
 
∈ − +∞ 
  este descrescătoare pe 1 ,
2
 
− +∞ 
  , deci ( ) 1
2
g x g  
≤ − 
  pentru
orice ( )1,x∈ − +∞ și, cum 1
2 2
e
g  
− = 
  , obținem ( ) 2
e
f x x− ≤ , pentru orice ( )1,x∈ − +∞
3p
2.a)
( )( )
2 2 2 3
1 1
2
3 ln 3
1
f x x x dx x dx x− = = =  3p
8 1 7= − = 2p
b) ( )
3 2
1 1 1 1
1 1 ln 1'ln ln 1 1
e e e ee ef x x
dx dx xdx x dx
x x xx x
 
= + − = − + = 
 
    3p
1 1 2 1
1 2 2 1
1
e
e x e e
 
= − − = − = − 
  2p
c)
( ) 2
1 0
ln
x
g x x x x
+
= ≥
+ , pentru orice [ ]1,x e∈ , deci ( ) 2
1 1
1
ln
e e x
g x dx dx
x x x
+
= = =
+
 
A 2p
( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1'1 ln ln ln ln 1 ln 1
ln ln 1
e e e
dx x x dx x x e e
x x x x x
 
= + ⋅ = + ⋅ = + = + > =  + + 
  3p