Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M1 Mate-Info 2023

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați numerele reale a și b pentru care ( )( )1 4a bi i+ + = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x mx x m= − + , unde m este număr real nenul.
Determinați numerele reale m pentru care ( ) ( )f m x f m x− = + , pentru orice număr real x .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( ) ( )2
2 22log 2 1 log 2x x x− = + + .
5p 4. Se consideră mulțimile { }1,2,3,4A = și { }:F f f A A= → . Determinați probabilitatea ca, alegând
un element f din mulțimea F , acesta să verifice inegalitatea ( )f n n≤ , pentru orice n A∈ .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )5,3A și ( )1,5B − . Determinați coordonatele
punctului C , știind că 2CA CB OC+ =
   .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu 8AB = , măsura unghiului C de 30° și punctul O , centrul
cercului circumscris triunghiului ABC . Determinați distanța de la punctul O la latura AB .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
3 2
2 1 1 1
2 2 1
a
A a a a
a
− 
 
= + − − 
 + − 
și sistemul de ecuații ( ) ( )
( )
3 2
2 1 1
2 2 1
x ay z b
a x a y z c
a x y z
+ − =
 + + − − =
 + − + = −
,
unde a , b și c sunt numere reale.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 5A = .
5p b) Determinați numerele reale a pentru care matricea ( )A a este inversabilă.
5p c) Determinați numerele reale b și c pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi
numărul real a .
2. Se consideră polinomul 4 3 2 8 8f X aX aX X= + + + − , unde a este număr real.
5p a) Arătați că ( )1 15f − = − , pentru orice număr real a .
5p b) Determinați numărul real a pentru care restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 1g X= −
este egal cu 15X .
5p c) Arătați că, pentru orice număr real a , polinomul f nu are toate rădăcinile numere întregi.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )4
1 1 arctgf x x x x= − − − .
5p a) Arătați că ( ) ( )2 4 arctg 1f x x x x′ = − + , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f care este paralelă cu axa Ox .
5p c) Demonstrați că ( )( ) ( ) ( )tg tgf x f x f x≥ ≥ , pentru orice [ ]0,1x ∈ .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
1
x
x
x e
f x e−
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
3 3
0
1 8x
e f x dx e−
+ = + .
5p b) Arătați că ( )
2
m
x
m
f x dx m
x e−
=
+
 , pentru orice ( )0,m ∈ +∞ .
5p c) Determinați numărul real nenul a pentru care ( )
0 0
1
lim 1
1
x
axx f t dt
e→
 
  =
 − 
 .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul național de bacalaureat 2023
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) 4a b a b i− + + = , de unde obținem 4a b− = și 0a b+ = 3p
2a = și 2b = − 2p
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 1 0m m x m x m m m x m x m x m− − − + = + − + +  − = și, cum egalitatea
are loc pentru orice număr real x , obținem 2 1 0m − =
3p
1m = − sau 1m = , care convin 2p
3. ( ) ( )2 2
2 2log 2 log 2x x x= + + , de unde obținem 2 2 0x x− − = 3p
1x = − , care nu convine; 2x = , care convine 2p
4. Mulțimea F are 4
4 256= de elemente, deci sunt 256 de cazuri posibile 2p
Pentru fiecare n A∈ , ( )f n se poate alege în n moduri, deci sunt 1 2 3 4 24⋅ ⋅ ⋅ = de cazuri
favorabile, de unde obținem 24 3
256 32
p = = 3p
5. ( )1
2
CM CA CB= +




 


 


 , unde M este mijlocul segmentului AB , de unde obținem CM OC=




 


 ,
deci punctul C este mijlocul segmentului OM
3p
Cum 2Mx = și 4My = , obținem 1Cx = și 2Cy = 2p
6. 8
2 8
1sin 2sin 2 2
AB AB
R R
C C
=  = = =
⋅
, unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC 2p
Triunghiul OAB este echilateral cu latura egală cu 8 , deci distanța de la punctul O la
latura AB este 4 3OM = , unde M este mijlocul segmentului AB 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
3 0 2 3 0 2
0 1 1 1 det 0 1 1 1
2 2 1 2 2 1
A A
− − 
 
= −  = − = 
 − − 
2p
3 4 0 4 6 0 5= + + + − − = 3p
b)
( )( ) ( )( )
3 2
det 2 1 1 1 5 1 1
2 2 1
a
A a a a a a
a
−
= + − − = + −
+ −
, pentru orice număr real a 2p
( )( )det 0 1A a a= ⇔ = − sau 1a = , deci matricea ( )A a este inversabilă dacă și numai dacă
{ }\ 1,1a ∈ −ℝ 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c) Pentru { }\ 1,1a ∈ −ℝ , sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numerele reale b și c ;
pentru { }1,1a ∈ − , 2 0
1 1
a
a
− ≠
− − , deci sistemul este compatibil dacă și numai dacă
1 2
2 1 0
2 1 1
b
c
− −
− =
− −
și
1 2
0 1 0
2 1 1
b
c
−
− =
− −
3p
2b = și 1c = 2p
2.a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 3 2
1 1 1 1 8 1 8f a a− = − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − − = 3p
1 8 8 15a a= − + − − = − , pentru orice număr real a 2p
b) Restul împărțirii polinomului f la polinomul g este egal cu ( )8 7a X a+ + − , pentru orice
număr real a 3p
( )8 7 15a X a X+ + − = , de unde obținem 7a = 2p
c) Presupunând că rădăcinile 1 2 3 4, , ,x x x x ale polinomului f sunt numere întregi, cum
1 2 3 4x x x x a+ + + = − , obținem că a ∈ ℤ 2p
1 2 3 4 1 2 3 48 8x x x x x x x x= −  ⋅ ⋅ ⋅ = , de unde obținem că cel puțin o rădăcină a
polinomului f are modulul egal cu 1 și, cum ( )1 0f − ≠ pentru orice număr real a ,
obținem ( )1 0f = , deci 1
2
a = − , ceea ce este fals, deci polinomul f nu are toate rădăcinile
numere întregi
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )3 4
2
1
1 4 arctg 1 1
f x x x x x
′ = − − − − ⋅ =
+ 3p
( )3 2 2
1 4 arctg 1 4 arctg 1x x x x x x= − − − + = − + , x ∈ ℝ 2p
b) Tangenta la graficul funcției f în punctul ( )( )0 0,A x f x este paralelă cu axa ( )0' 0Ox f x⇔ = 2p
( )2
0 0 04 arctg 1 0x x x− + = și, cum 0 0arctg 0x x ≥ pentru orice 0x ∈ ℝ , obținem 0 0x = , deci
ecuația tangentei la graficul funcției f care este paralelă cu axa Ox este
( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 1y =
3p
c) ( )' 0f x ≤ , pentru orice x ∈ ℝ , deci funcția f este descrescătoare pe ℝ și, cum ( )0 1f = și
( )1 0f = , obținem ( )0 1f x≤ ≤ , pentru orice [ ]0,1x ∈ 2p
Pentru [ ]: 0,1g → ℝ , ( ) tgg x x x= − , ( ) 2
1
' 1 0
cos
g x x
= − ≥ , pentru orice [ ]0,1x ∈ , deci g
este crescătoare, de unde obținem tg x x≥ , pentru orice [ ]0,1x ∈ , deci
( )( ) ( ) ( )tg tgf x f x f x≥ ≥ , pentru orice [ ]0,1x ∈
3p
2.a)
( ) ( ) ( )
3 3 3
2
0 0
3
1 3 0
x x xx
e f x dx x e dx e−  
+ = + = + =  
 
  3p
3 327 0 1 8
3 e e= + − − = + 2p
b) ( ) ( )
2
'11
1 1
xm m m
x x x
m m m
ef x dx dx dx
x e e e−
− − −
+
= = =
+ + +
   3p
( ) ( ) 1
ln 1 ln 1 ln ln
m
x m m
m
m e
e e e m
em
 +
= + = + − = =  −  
, pentru orice ( )0,m ∈ +∞ 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
c)
( )
( )
( )
0
0 0
0
'
1
lim lim '1 1
x
x
ax axx x
f t dt
f t dt
e e→ →
 
 
      = =
 − − 

 2p
( )
0
1
lim 2axx
f x
aae→
= = , de unde obținem 1 1
2a = , deci 1
2
a = , care convine 3p