Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M4 Pedagogic 2022 – varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul de bacalaureat naţional 2022
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Varianta 3
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )
2 2
3 1 3 1 48+ − − = .
5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= +
și :g →ℝ ℝ , ( ) 2 5g x x= − + .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația
2
2 1
3 3
x
x
−
−  
=  
  .
5p 4. Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7
și 8.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0, 2A , ( )5, 2B și ( )6,6C . Determinați distanța de
la punctul B la mijlocul segmentului AC .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC cu 9AB = , 12AC = și 15BC = . Arătați că 7
sin sin 5
B C+ = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )
1 1 2
3 3 3
x y xy x y∗ = − + + + .
5p 1. Arătați că 4 2 0∗ = .
5p 2. Demonstrați că ( )( )
1 1 1 1
3
x y x y∗ = − − − + , pentru orice numere reale x și y .
5p 3. Determinați numărul real x pentru care 4 x= x∗ .
5p 4. Arătați că 2e = − este elementul neutru al legii de compoziție „ ”∗ .
5p 5. Determinați numerele reale x pentru care 2x x∗ = − .
5p 6. Arătați că 1 1 1
x x
∗ ≤ , pentru orice număr real nenul x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele ( ), 1 2
x y
A x y  
=  
 
, 1 2
1 0
B  
=  
− 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
, unde x și y sunt numere
reale.
5p 1. Arătaţi că det 2B = .
5p 2. Arătați că ( )( )det 2 , 2 1A n n + este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul n .
5p 3. Arătați că ( ) ( ) ( )2 ,0 0, 2 2 ,A x A x A x x+ = , pentru orice număr real x .
5p 4. Determinați numerele reale x și y , astfel încât ( ) ( ), ,A x y B B A x y⋅ = ⋅ .
5p 5. Determinați numărul real strict pozitiv x , știind că suma elementelor matricei ( )3log , 1A x este
egală cu 5.
5p 6. Determinați numerele reale x și y , știind că ( ) ( ) 2, , 2A x y A x y I⋅ = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total
acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )2
3 1 4 2 3+ = + , ( )2
3 1 4 2 3− = − 3p
( ) ( )4 2 3 4 2 3 4 3 48+ − − = = 2p
2. 2 1 2 5x x+ = − + , deci 1x = 2p
( )1 3f = , deci coordonatele punctului de intersecție sunt ( )1,3 3p
3. 2 2
3 3x x− = , de unde obținem 2 2x x− = 3p
2x = − 2p
4. Cifra unităților poate fi aleasă în 4 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor poate fi aleasă în câte 8 moduri, deci se
pot forma 4 8 32⋅ = de numere naturale impare de două cifre 3p
5. 3Mx = și 4My = , unde M este mijlocul segmentului AC 3p
( ) ( )2 2
3 5 4 2 2 2BM= − + − = 2p
6. 2 2 2
AB AC BC+ = , deci triunghiul ABC este dreptunghic în A 3p
4 3 7
sin sin 5 5 5
B C+ = + =
 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. ( )
1 1 2
4 2 4 2 4 2
3 3 3
∗ = − ⋅ ⋅ + + + = 3p
8 6 2 0
3 3 3
= − + + = 2p
2. ( ) ( )
1 1 1 2 1 1 1 2
1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
x y xy x y x y y∗ = − + + + = − − + − + + = 3p
( ) ( ) ( )( )
1 1 1
1 1 1 1 1 1
3 3 3
x y y x y= − − + − + = − − − + , pentru orice numere reale x și y 2p
3. ( )( )
1
4 4 1 1 1 2
3
x x x∗ = − − − + = − + , pentru orice număr real x 2p
2x x− + = , deci 1x = 3p
4. ( ) ( )( )
1
2 2 1 1 1 1 1
3
x x x x− ∗ = − − − − + = − + = , pentru orice număr real x 2p
( ) ( )( )
1
2 1 2 1 1 1 1
3
x x x x∗ − = − − − − + = − + = , pentru orice număr real x , deci 2e = − este
elementul neutru al legii de compoziție „ ”∗
3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
5. ( )21 1 1
3
x x x∗ = − − + , pentru orice număr real x 2p
( )21 1 1 2
3 x− − + = − ⇔ ( )2
1 9x − = , de unde obținem 2x = − sau 4x = 3p
6. 2 2
1 1 1 1
1 1 1 1 0
3 3x x
   
− − + ≤ ⇔ − − ≤   
    3p
2
1 1 0,
x
 
− ≥ 
  deci 1 1 1,
x x
∗ ≤ pentru orice număr real nenul x 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. ( )
1 2
det 1 0 2 1
1 0
B = = ⋅ − ⋅ − =
− 3p
0 2 2= + = 2p
2. ( ) 2 2 1
2 ,2 1 1 2
n n
A n n + 
+ =  
 
, de unde obținem ( )( )det 2 , 2 1 2 1A n n n+ = − , pentru orice
număr natural nenul n
3p
2 1n − este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul n 2p
3. ( ) ( ) 2 0 0 2 2 2
2 ,0 0, 2 1 2 1 2 2 4
x x x x
A x A x      
+ = + = =     
      3p
( )2 2 ,
1 2
x x A x x
 
= ⋅ = 
 
, pentru orice număr real x 2p
4. 1 2 1 2
1 2 1 0 1 0 1 2
x y x y     
=     
− −      ⇔ 2 2 4
1 2
x y x x y
x y
− + +   
=   
− − −    3p
1x = și 2y = − 2p
5. ( ) 3
3
log 1
log , 1 1 2
x
A x  
=  
 
, deci suma elementelor matricei este 34 log x+ 3p
34 log 5x+ = ⇔ 3log 1x = , de unde obținem 3x = , care convine 2p
6.
( ) ( ) 2 2
, , 2 4
x y xy y
A x y A x y x y
 + +
⋅ =   + + 
, 2
2 0
2 0 2
I  
=  
  2p
2 2 02
0 22 4
x y xy y
x y
   + + =    + +   
, de unde obținem 2x = − și 2y = − 3p