Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2022 – varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )1,5 0,5 3 2 0,5 2− ⋅ − ⋅ = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x= − . Determinați numărul real a pentru care ( ) 9f a = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )4 4log 3 1 log 5x − = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = , acesta
să verifice inegalitatea 5 22n ≤ .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A − și ( )6,3B . Determinați coordonatele
mijlocului segmentului AB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , cu 4AC = și 5BC = . Arătați că aria triunghiului
ABC este egală cu 6 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2 1
1 3
A  
=  
  și ( ) 2
2
x x
B x x
− 
=  
  , unde x este număr real.
5p a) Arătați că det 5A = .
5p b) Arătați că ( ) ( )2 2 2 0A B B− = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( )( )det 1 1 1B x B x A⋅ − + = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 6x y x y xy= + − .
5p a) Arătați că 1 1 4= − .
5p b) Arătați că 0e = este elementul neutru al legii de compoziție „  ”.
5p c) Determinați numerele întregi m pentru care ( )3 3m m− < .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 4
2 3 2f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
' 6 1 2f x x x= − , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( ) 4
3
3
lim 2
4x
f x x
x→+∞
+ =
+ .
5p c) Demonstrați că 3 4 1
32 2 3 16
x x− ≤ − ≤ , pentru orice [ ]0, 2x ∈ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 x
f x x e= + .
5p a) Arătați că ( )( )
3
2
3 5x
f x e dx− = .
5p b) Arătați că ( )( )
1
0
2 3x f x x dx− = .
5p c) Determinați numărul real a , știind că ( )
( )
1
2
0
' 1
ln 22
f x x dx a e
f x x
−  
= + 
 −
 .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )1,5 0,5 3 2 0,5 1 3 1− ⋅ − ⋅ = ⋅ − = 3p
3 1 2= − = 2p
2. ( ) 2 3f a a= − 2p
2 3 9a − = , de unde obținem 6a = 3p
3. 3 1 5x − = 3p
2x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele n din mulțimea A pentru care 5 22n ≤ sunt 0 , 1, 2 , 3 și 4 , deci sunt 5 cazuri
favorabile, de unde obținem 5 1
10 2
p = = 3p
5. 2 6
2
Mx − +
= , 1 3
2
My +
= , unde M este mijlocul segmentului AB 3p
2Mx = , 2My = 2p
6. 3AB = 2p
3 4 6
2 2
ABC
AB AC
∆
⋅ ⋅
= = =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2 1
det 2 3 1 1
1 3
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
6 1 5= − = 2p
b)
( ) 4 2 0 2 4 0
2 2 2 6 2 2 0 4
A B      
− = − = =     
      3p
( )
2 0
2 2 0
0 2 B
 
= = 
  2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2 2 2 1 2 1
1 1 1
1 2 2 4 1 3 3 1 1 2
x x x x
B B x B x A x x x x x
+ + + −       
=  ⋅ − + = − =       
+ + + + −       
și ( ) ( ) ( )( ) 2
det 1 1 4 2 1B x B x A x x⋅ − + = − − , pentru orice număr real x
3p
2 2
4 2 1 1 2 1 0x x x x− − = ⇔ − − = , de unde obținem 1
2
x = − sau 1x = 2p
2.a) 1 1 1 1 6 1 1= + − ⋅ ⋅ =
 3p
2 6 4= − = − 2p
b) 0 0 6 0 0 0x x x x x= + − ⋅ ⋅ = + − =
 , pentru orice număr real x 2p
0 0 6 0 0 0x x x x x= + − ⋅ ⋅ = + − =
 , pentru orice număr real x , deci 0e = este elementul
neutru al legii de compoziție „ 
 ” 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) ( ) ( )3 3 6 3m m m m− = − −
 , pentru orice număr întreg m 2p
( ) ( )3 6 3 3 3 0m m m m− − < ⇔ − < și, cum m este număr întreg, obținem 1m = și 2m = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2 3
' 2 3 3 4f x x x= ⋅ − ⋅ = 3p
( )2 3 2
6 12 6 1 2x x x x= − = − , x ∈ ℝ 2p
b)
( ) 3
4 3 3
3 3 3
3
2
2
3 2 2
lim lim lim 44 4 1
x x x
x
f x x x x
x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
+ + +  = = =
 + + + 
 
2p
3
3
2
2
lim 2
4
1
x
x
x
→+∞
+
= =
+
3p
c) ( )' 0 0f x x=  = sau 1
2
x = ; ( )' 0f x ≥ , pentru orice 1
0, 2
x f
 
∈  
  este crescătoare pe
1
0, 2
 
 
  și ( )' 0f x ≤ , pentru orice 1 ,2
2
x f
 
∈  
  este descrescătoare pe 1 ,2
2
 
 
 
2p
( )0 2f = , 1 33
2 16
f   = 
  și ( )2 30f = − , deci ( ) 33
30 16
f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]0, 2x ∈ , de unde
obținem 3 4 1
32 2 3 16
x x− ≤ − ≤ , pentru orice [ ]0, 2x ∈
3p
2.a)
( )( )
3 3 2
2 2
3
3 2 2
x
f x e dx xdx x− = = =  3p
9 4 5= − = 2p
b)
( )( )
1 1
0 0
1 1
2 3 3 3
0 0
x x x
x f x x dx xe dx xe e− = = − =  3p
3 0 3 3 3e e= − − + = 2p
c) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
21 1 2
2 2
0 0
' 12' 1 1 1 1
ln 2 ln
2 2 2 22 2 0
f x xf x x dx dx f x x e
f x x f x x
−−  
= = − = + 
 − −
  3p
1 1 1
ln ln
2 2 2
e a e
   
+ = +   
    , de unde obținem 1
2
a = 2p