Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2022 – sesiunea iunie–iulie, 21 iunie 2022, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1
5 3 1 1
3
 
− ⋅ + = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 4f x x= − . Determinați numărul real a pentru care ( ) 2f a = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4 2 2x+ = .
5p 4. Un produs costă 90 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu 10% .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 4A , ( )5,0B și ( ),M a b , unde a și b sunt
numere reale. Determinați numerele reale a și b , știind că punctul M este mijlocul segmentului AB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , în care măsura unghiului C este egală cu 30° și
3AB = . Arătați că 6BC = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2 1
4 3
A  
=  
 
, 2 2
1 3
B − 
=  
 
și 2 1
2 3
C − 
=  
 
.
5p a) Arătați că det 2A = .
5p b) Arătați că 2 3A B C+ = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( )( )det 0B C x A C⋅ + − = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )2 2 2x y x y y x∗ = + + + .
5p a) Arătați că 1 1 11∗ = .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care 0 4x ∗ = .
5p c) Demonstrați că 1 7x x
∗ > , pentru orice număr real nenul x .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 5 4 3
2 5 10 1f x x x x= + − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2 2
' 10 2 3f x x x x= + − , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că 5 4 3
2 5 10 3 0x x x+ − + ≥ , pentru orice [ )3,x ∈ − +∞ .
2. Se consideră funcția ( ): 1,f − +∞ → ℝ , ( ) 2
6 1
f x x x
= + + .
5p a) Arătați că ( )
2
0
2 12
1
f x dx
x
 
− = 
+ 
 .
5p b) Arătați că ( )( )
1
0
6 2ln 2f x x dx− = .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )2
2
1
12 ln
1 2
e a e
f x xdx
x
− 
− ⋅ = 
+ 
 .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 4
5 3 1 5 3
3 3
 
− ⋅ + = − ⋅ = 
  3p
5 4 1= − = 2p
2. ( ) 4f a a= − 2p
4 2a − = , de unde obținem 6a = 3p
3. 4 2 4x+ = 3p
0x = , care convine 2p
4. 10 90 9
100 ⋅ = lei 3p
Prețul după scumpire este 90 9 99+ = de lei 2p
5. 1 5
2
a +
= , 4 0
2
b +
= 3p
3a = , 2b = 2p
6. sin AB
C BC
= 2p
1 3
2 BC
= , de unde obținem 6BC = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 2 1
det 2 3 1 4
4 3
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
6 4 2= − = 2p
b) 4 4 6 3
2 2
2 6 6 9
B A B
− −   
=  + = =   
    3p
2 1
3 3
2 3 C
− 
= = 
  2p
c) ( ) 0 8 2
8 2 8
x
B C x A C x
− + 
⋅ + − =  
+ 
, deci ( )( ) ( )( )det 8 2 8 2B C x A C x x⋅ + − = + − , pentru orice
număr real x
3p
( )( )8 2 8 2 0x x+ − = , de unde obținem 4x = − sau 4x = 2p
2.a) ( )( )1 1 1 2 1 1 2 1 2∗ = + ⋅ + ⋅ + = 3p
3 3 2 11= ⋅ + = 2p
b) 2
0 2 2x x∗ = + , pentru orice număr real x , deci 2
2 2 4x + = 3p
2 1 0x − = , de unde obținem 1x = − sau 1x = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
c) 2
2
1 2 1 2
2 2 1 2 4 2x x x x
x x x x
  
∗ = + + + = + + + + =  
   3p
2
2
1
2 7 7x x
 
= + + > 
  , pentru orice număr real nenul x 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 4 3 2
' 2 5 5 4 10 3f x x x x= ⋅ + ⋅ − ⋅ = 3p
( )4 3 2 2 2
10 20 30 10 2 3x x x x x x= + − = + − , x ∈ ℝ 2p
b) ( )0 1f = , ( )' 0 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )0 ' 0 0y f f x− = − , adică 1y = 3p
c) ( )' 0 3f x x= ⇔ = − sau 0x = sau 1x = ; ( )' 0f x ≤ , pentru orice [ ]3,1x f∈ −  este
descrescătoare pe [ ]3,1− și ( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )1,x f∈ +∞  este crescătoare pe [ )1, +∞ ,
deci ( ) ( )1f x f≥ , pentru orice [ )3,x∈ − +∞
3p
( )1 2f = − , de unde obținem 5 4 3
2 5 10 1 2x x x+ − + ≥ − , deci 5 4 3
2 5 10 3 0x x x+ − + ≥ , pentru
orice [ )3,x ∈ − +∞ 2p
2.a)
( )
2 2 2
0 0
22 6 6
1 2 0
x
f x dx x dx
x
 
− = = ⋅ = 
+ 
  3p
12 0 12= − = 2p
b)
( )( ) ( )
1 1
0 0
12
6 2ln 1
1 0
f x x dx dx x
x
− = = + =
+  3p
2ln 2 2ln1 2ln 2= − = 2p
c)
( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 'ln 6 ln 3 ln 3 ln 6 ln
1 1
e e e ee
f x xdx x xdx x xdx x x x xdx
x
 
− ⋅ = = = − = 
+ 
   
( )22
2 2 3 13
3 3 ln 2 21 1
e e ex
e x x −
= − + =
3p
( ) ( )2 2
3 1 1
2 2
e a e− −
= , de unde obținem 3a = 2p