Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M3 Tehnologic 2022 – sesiunea august–septembrie, 17 august 2022, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate
calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că 1 1
1 6 6
2 3
 
+ ⋅ + = 
  .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= − . Arătați că ( ) ( )3 2 1f f− = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3 1 2x + = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = ,
numărul 10 n− să fie par.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( ),0A a și ( ),6B a , unde a este număr real. Arătați
că 6AB = , pentru orice număr real a .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC dreptunghic în A , cu 5AB = și 2AC AB= . Arătați că aria
triunghiului ABC este egală cu 25 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 7 3
3 1
A  
=  
 
, 1 1
1 1
B  
=  
− 
și 2
1 0
0 1
I  
=  
 
.
5p a) Arătați că det 2A = − .
5p b) Arătați că 24 3A I B− = .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care X X B A+ ⋅ = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )4x y xy x y∗ = + − .
5p a) Arătați că 2 3 6∗ = .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care 1 4x∗ = .
5p c) Determinați numărul real x pentru care 3
2 2 2x x x
∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2
9 3f x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )' 3 6f x x x= − , x ∈ ℝ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Arătați că ( ) ( )
( ) ( )1
' ' 1 2
lim 3 ' 3x
f x f
f x x f x→
− =
− .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1 x
f x x e= − .
5p a) Arătați că ( )2
0
0x
f x dx
e = .
5p b) Arătați că ( )
1
0
2f x dx e= − .
5p c) Determinați numărul natural n , 2n > , pentru care ( ) ( )2
1 3
ln
2 8
n x dx
f x f x =
⋅ − .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 1 1 5
1 6 1 6
2 3 6
 
+ ⋅ + = + ⋅ = 
  3p
1 5 6= + = 2p
2. ( )3 1f = 2p
( )2 0f = , de unde obținem ( ) ( )3 2 1 0 1f f− = − = 3p
3. 3 1 4x + = 3p
1x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 9 elemente, deci sunt 9 cazuri posibile 2p
Numerele n din mulțimea A pentru care numărul 10 n− este par sunt 2 , 4 , 6 și 8 , de
unde obținem 4 cazuri favorabile, deci 4
9
p = 3p
5. Pentru orice număr real a , ( ) ( )2 2
6 0AB a a= − + − = 3p
2
6 6= = 2p
6. 10AC = 2p
5 10 25
2 2
ABC
AB AC
∆
⋅ ⋅
= = =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) 7 3
det 7 1 3 3
3 1
A = = ⋅ − ⋅ = 3p
7 9 2= − = − 2p
b)
2
7 3 4 0 3 3
4 3 1 0 4 3 3
A I      
− = − = =     
−      3p
1 1
3 3
1 1 B
 
= = 
−  2p
c) ( )2X I B A⋅ + = și, cum 2
2 1
1 0
I B  
+ =  
 
și ( )2det 0I B+ ≠ , obținem ( ) 1
2X A I B −
= ⋅ + 2p
( ) 1
2
0 1
1 2
I B −  
+ =  
− 
, de unde obținem 3 1
1 1
X  
=  
  3p
2.a) ( )2 3 2 3 2 3 4∗ = ⋅ + − = 3p
6 1 6= ⋅ = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) 2
1 3x x x∗ = − , pentru orice număr real x 2p
2 3 4 0x x− − = , de unde obținem 1x = − sau 4x = 3p
c) ( )2
2 2 2 2 2 4x x x x x
∗ = + − , pentru orice număr real x 2p
( )2 3
2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4x x x x x x x x
+ − = ⇔ + − = ⇔ = , de unde obținem 2x = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 2
3 9 2f x x x′ = − ⋅ = 3p
( )2
3 18 3 6x x x x= − = − , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) 0 0f x x′ =  = sau 6x = 2p
Pentru orice ( ],0x ∈ −∞ , ( )' 0f x f≥  este crescătoare pe ( ],0−∞ , pentru orice [ ]0,6x ∈ ,
( )' 0f x f≤  este descrescătoare pe [ ]0,6 și pentru orice [ )6,x ∈ +∞ , ( )' 0f x f≥  este
crescătoare pe [ )6, +∞
3p
c) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2
21 1
3 6 5' ' 1
lim lim
3 ' 9 1x x
x xf x f
f x x f x x→ →
− +− = =
− − 2p
( )( )
( )( ) ( )1 1
3 1 5 5 2
lim lim
9 1 1 3 1 3x x
x x x
x x x→ →
− − −
= = =
− − + − + 3p
2.a) ( ) ( )
2 2 2
0 0
2
1 2 0
x
f x x
dx x dx x
e
 
= − = − =  
 
  3p
2 2 0= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
1 1
0 0
1 1
1 1 0 0
x x x
f x dx x e dx x e e= − = − − =  3p
( )1 1 2e e= − − = − 2p
c)
( ) ( )
( )2
2
2 2 2
2 2 2
'11 1 1 3
ln 1 ln
2 2 21 1 12
n n n nxx x
dx dx dx x
f x f x x x n
−
= = − = − − =
⋅ − − − −
   3p
2
1 3 1 3
ln ln
2 2 81n =
− și, cum n este număr natural, 2n > , obținem 3n = 2p