Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2022 – varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că media aritmetică a numerelor 20 21a = − și 22 21b = + este egală cu 21 .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 3g x x= − . Arătați că
( ) ( ) 2f a g a+ = , pentru orice număr real a .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7 6x x− = .
5p 4. Determinați câte numere naturale pare, de două cifre, au cifrele elemente ale mulțimii { }1, 2,3, 4 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )6,0A și ( )6,6B . Arătați că triunghiul AOM
este isoscel, unde punctul M este mijlocul segmentului OB .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , astfel încât 4AC = și măsura unghiului B este
egală cu 60° . Arătați că înălțimea din vârful A a triunghiului ABC are lungimea egală cu 2 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 1
1
x
A x x x
− 
=  
+ 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 3A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2A A A I− ⋅ − − = .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( ) 23A x A x xA x I⋅ − + = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( ) ( )4 1 3x y xy x y= + − + .
5p a) Arătați că 1 2 3= .
5p b) Arătați că, dacă 3 4a = , atunci ( ) 0a a− = .
5p c) Determinați valorile reale ale lui x pentru care ( ) ( )1 1 4x x − ≤  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
2 3 5lnf x x x x= + + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )1 4 5
' x x
f x x
− +
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că ( ) 2
5ln
lim 2
3x
f x x
x x→+∞
+ = −
− − .
5p c) Demonstrați că 2
2 3 5lnx x x+ ≥ + , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )3 2 x
f x x e= − .
5p a) Arătați că ( )1
0
2x
f x dx
e = .
5p b) Arătați că ( )
2 2
0
5f x dx e= − .
5p c) Determinați ( ),1a ∈ −∞ pentru care ( )
1 3
3
2
9
x
a
e dx
f x = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 20 21 22 21
2 2
a
a b
m + − + +
= = = 3p
42 21
2
= = 2p
2. ( ) 1f a a= − , pentru orice număr real a 2p
( ) ( ) ( )3 1 3 2g a a f a g a a a= −  + = − + − = , pentru orice număr real a 3p
3. 2 2
7 6 7 6 0x x x x− =  − + = 2p
1x = sau 6x = , care convin 3p
4. Cifra unităților se poate alege în 2 moduri 2p
Pentru fiecare alegere a cifrei unităților, cifra zecilor se poate alege în câte 4 moduri, deci se
pot forma 2 4 8⋅ = numere 3p
5. ( )3,3M 2p
3 2OM = , 3 2AM = , de unde obținem că triunghiul AOM este isoscel 3p
6. Măsura unghiului ACB este egală cu 30° 2p
Dacă AD este înălțimea din vârful A a triunghiului ABC , atunci triunghiul ACD este
dreptunghic, cu unghiul ACD de 30° , de unde obținem 2
2
AC
AD = = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( )
1 1 1 1
1 det 1 1 2 1 1
1 2 1 2
A A
− − 
=  = = ⋅ − − ⋅ = 
  3p
2 1 3= + = 2p
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 3 1 1 1
1 , 2 1 2 1
1 0 2 3 1 2 1 0
A A A A A
−       
− = =  − ⋅ − − = − =       
− − −        3p
2
2 0 2
0 2 I
 
= = 
  2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 22 2 2 2
1 1 0 1
1 0 1
x x x x x x
A x A x xA x x x I
x x x x x x
     + − + +
     ⋅ − + = + = = + +
     − + + +     
,
pentru orice număr real x
3p
( )2 2 21 3x x I I+ + = , de unde obținem 2 2 0x x+ − = , deci 2x = − sau 1x = 2p
2.a) ( ) ( )1 2 4 1 2 1 3 1 2= ⋅ + − + =
 3p
12 9 3= − = 2p
b) 3 9 5a a= −
 , deci 9 5 4a − = , de unde obținem 1a = 3p
( ) ( ) ( ) ( )1 1 4 1 1 3 1 1 0a a− = − = − + − − =
 
 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 7
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) 1 1x x= +
 , ( ) ( ) 2
1 1 4 6x x x x− = −
 
 , pentru orice număr real x 3p
2
4 6 4x x− ≤ , de unde obținem 1 , 2
2
x  
∈ − 
  2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) 5' 4 1f x x x
= + − = 3p
( )( )2 1 4 54 5 x xx x
x x
− ++ −= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b)
( ) 2
2 2
2 2 2
2
1 3
2
5ln 2 3
lim lim lim 3 13 3 1
x x x
x
f x x x x x x
x x x x x xx
→+∞ →+∞ →+∞
 
+ + + + +  = = =
 − − − − − − 
 
3p
2
2
1 3
2
lim 2
3 1 1
x
x x
xx
→+∞
+ +
= = −
− −
2p
c) ( )' 0 1f x x=  = ; ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]0,1x f∈  este descrescătoare pe ( ]0,1 și
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )1,x f∈ +∞  este crescătoare pe [ )1, +∞ , deci ( ) ( )1f x f≥ , pentru
orice ( )0,x ∈ +∞
3p
( )1 6f = , deci 2
2 3 5ln 6x x x+ + − ≥ , de unde obținem 2
2 3 5lnx x x+ ≥ + , pentru orice
( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a) ( ) ( )
1 1 2
0 0
1
3 2 3 2 2 0
x
f x x
dx x dx x
e
 
= − = − ⋅ =  
 
  3p
3 1 2= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
2 2
0 0
2 2
3 2 3 2 2
0 0
x x x
f x dx x e dx x e e= − = − + =  3p
2 2 2
3 2 2 5e e e= − − + − = − 2p
c)
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
1 1 13
3 3 3 2 2
1'3 21 1 1 1 1 1
1
2 4 43 2 3 2 3 2 3 2
x
a a a
xe dx dx dx
f x ax x x a
 −  = = − = ⋅ = ⋅ −
 − − − − 
   , pentru
orice ( ),1a ∈ −∞
3p
( )2
1 1 2
1
4 93 2a
 
 ⋅ − =
 − 
și, cum ( ),1a ∈ −∞ , obținem 0a = 2p