Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2022 – varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )( )2 2 1 2 2 2− + = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
2 4f x x x= − . Determinați abscisele punctelor de intersecție a
graficului funcției f cu axa Ox .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3
2
1
2 2
x
x
− = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să fie multiplu de 11.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,0A − , ( )0,3B și ( )4,0C . Arătați că triunghiul
ABC este isoscel.
5p 6. Se consideră ( ) 3
tg sin 2cos
2 2
x x
E x x= + − , unde 0, 2
x
π 
∈ 
  . Arătați că 1
3
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele ( ) 1
2 2 1
x x
M x x x
+ − 
=  
− + 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 4M = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )1 4 1M x M M x⋅ = + , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2M x M M M x⋅ ⋅ = + .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 5 10 10 18x y xy x y= + + + .
5p a) Arătați că ( )1 0 8− = .
5p b) Demonstrați că ( )( )5 2 2 2x y x y= + + − , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numărul întreg m pentru care m m m= .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 1,f +∞ → ℝ , ( ) ( )
2 1 ln 1
1
x
f x x
x
+
= + −
− .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
2
2
'
1
x x
f x
x
− −
=
−
, ( )1,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 2x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că ( )
2 1 ln 1 5
1
x x
x
+ + − ≥
− , pentru orice ( )1,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
4
6 1
x
f x x
+
= + .
5p a) Arătați că ( )( )
2 2
0
6 1 10f x x dx+ = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
2
2
0
4 ln 5
66 1
f x dx
x
 
− = 
+ 
 .
5p c) Determinați numărul real m pentru care ( ) ( )
1 2 2
0
4 1xx e dx m e
f x
+ ⋅ = − .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) ( )( )2 2 1 2 2 2 2 2 2− + = − + = 3p
4 2 2= − = 2p
2. ( ) 2
0 2 4 0f x x x= ⇔ − = 3p
0x = sau 2x = 2p
3. 3 2
2 2 3 2x x x x− −
= ⇔ − = − 3p
1x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 9 numere care sunt multipli de 11, deci
sunt 9 cazuri favorabile, de unde obținem 9 1
90 10
p = = 3p
5. 5AC = 2p
2 2
4 3 5BC = + = , deci AC BC= , de unde obținem că triunghiul ABC este isoscel 3p
6. tg 3
3
π = , sin 1
2
π = , 3
cos 6 2
π = 3p
3
3 1 2 1
3 2
E
π  = + − ⋅ = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2 1 2 1
1 det 1 2 3 1 2
2 3 2 3
M M
− − 
=  = = ⋅ − − ⋅ − = 
− −  3p
6 2 4= − = 2p
b) ( ) ( ) 4 2 4 1
1 8 2 8 3
x x
M x M x x
+ − − 
⋅ = = 
− − +  3p
( ) ( )
( ) ( ) ( )
4 1 1 4 1 4 1
2 4 1 2 4 1 1
x x M x
x x
 + + − + 
= = + 
− + + + 
, pentru orice număr real x 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 4 1 1 16 5M x M M M x M M M x M M x⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = + ⋅ = + , pentru orice
număr real x 3p
( ) ( )16 5 2M x M x+ = + , de unde obținem 16 5 2x x+ = + , deci 1
5
x = − 2p
2.a) ( ) ( ) ( )1 0 5 1 0 10 1 10 0 18− = ⋅ − ⋅ + ⋅ − + ⋅ + =
 3p
10 18 8= − + = 2p
b) ( ) ( )5 10 10 20 2 5 2 10 2 2x y xy x y x y y= + + + − = + + + − =
 3p
( )( ) ( )( )5 10 2 2 5 2 2 2x y x y= + + − = + + − , pentru orice numere reale x și y 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 3
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
c) ( )2
5 2 2m m m= + −
 , pentru orice număr întreg m 2p
( ) ( )( )2
5 2 2 2 5 9 0m m m m+ − =  + + = și, cum m este număr întreg, obținem 2m = − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 1 1 1
' 11
x x x
f x xx
− − +
= + =
−−
3p
( ) ( )
2 2
2 2
2 1 1 2
1 1
x x x x x
x x
− − + − − −
= =
− −
, ( )1,x ∈ +∞ 2p
b) ( )2 5f = , ( )' 2 0f = 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )2 ' 2 2y f f x− = − , adică 5y = 3p
c) ( )' 0 2f x x=  = ; pentru ( ] ( )1,2 ' 0x f x∈  ≤ , deci f este descrescătoare pe ( ]1,2 și
pentru [ ) ( )2, ' 0x f x∈ +∞  ≥ , deci f este crescătoare pe [ )2,+∞ 3p
( ) ( )2f x f≥ , pentru orice ( )1,x ∈ +∞ , de unde obținem ( )
2 1 ln 1 5
1
x x
x
+ + − ≥
− , pentru orice
( )1,x ∈ +∞
2p
2.a)
( )( ) ( )
2 2 2
2
0 0
2
6 1 4 4
2 0
x
f x x dx x dx x
 
+ = + = + =  
 
  3p
2 8 10= + = 2p
b)
( ) ( ) ( )
22 2 2 2
2 2 2
0 0 0
26 1 '4 1 1 ln 6 1
12 126 1 6 1 6 1 0
xx
f x dx dx dx x
x x x
+ 
− = = = + = 
+ + + 
   3p
1 ln 5
ln 25
12 6
= = 2p
c)
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 12 2
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1'4 6 1 6 1 6 1 6
2 2 0
x x
x x xx e e
e dx x e dx x dx x xe dx
f x
   + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ − =      
   
   
2 2
2 2
1 17 1 3
3 2 2
2 20 0
x
xe e
xe e
−
= − + = −
3p
( )2 2
2 2 1e m e− = − , de unde obținem 2m = 2p