Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2022 – sesiunea iunie–iulie, 21 iunie 2022, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Determinați termenul 1a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 2 6a = și 3 12a = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 5f x x= − . Determinați numărul real a pentru care
( ) ( )2 2f a f a+ = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1
5 25
5
x ⋅ = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să
fie multiplu de 16 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3, 2A și ( )1, 4B . Determinați coordonatele
punctului C , astfel încât punctul A este mijlocul segmentului BC .
5p 6. Se consideră expresia ( ) 3
sin sin cos
2 2
x x
E x x= + − , unde x este număr real. Arătați că 1
3
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 1 1
1 1
A − 
=  
− 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 3
2
x x
B x x x
− 
=  
− 
, unde x este număr
real.
5p a) Arătați că det 0A = .
5p b) Arătați că ( ) ( )0B x B xA− = , pentru orice număr real x .
5p c) Arătați că matricea ( ) ( ) ( ) ( )1 1C a B a B B a= ⋅ − + este inversabilă, pentru orice număr întreg a .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )2 1 2 1 1x y x y∗ = − − + .
5p a) Arătați că 1 2 4∗ = .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care 2x x∗ = .
5p c) Determinați numărul întreg nenul m pentru care 1
1 1m m
 
∗ + = 
  .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
2 1 lnf x x x= + + .
5p a) Arătați că ( ) 2
4 1x
f x x
+
′ = , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Arătați că ( )
2
ln
lim 2
4x
f x x
x x→+∞
− =
+ + .
5p c) Demonstrați că funcția f este bijectivă.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2
2x
f x x e x= + .
5p a) Arătați că ( )4
2
0
8
2x
f x dx
e x =
+
 .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )( )
1 3
0
2 1f x x dx− = .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( )
2 4
2
1
1
2
e e
f x dx a
x
−
⋅ = + .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 3 2 6r a a= − = , unde r este rația progresiei aritmetice 2p
1 2 6 6 0a a r= − = − = 3p
2. 5 2 5 2 3 12a a a− + − = ⇔ = 3p
4a = 2p
3. 1 2
5 5x− = , deci 1 2x − = 3p
3x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 6 numere care sunt multipli de 16 , deci
sunt 6 cazuri favorabile, de unde obținem 6 1
90 15
p = = 3p
5. 1 4
,
2 2
C Cx y
A + + 
 
  , de unde obținem 5Cx = 3p
0Cy = 2p
6. 3
sin 3 2
π = , sin 1
2
π = , 3
cos 6 2
π = 3p
3 3
1 1
3 2 2
E
π  = + − = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
1 1
det 1 1 1 1
1 1
A −
= = ⋅ − − ⋅ − =
− 3p
1 1 0= − = 2p
b) ( ) ( ) ( )
0 3
0 0
2 0
x x
B B x B x x
−   
=  − = =   
−    3p
1 1
1 1
x xA
− 
= = 
− 
, pentru orice număr real x 2p
c)
( ) ( )( )
3 1 2 1 2 2 2 1 det 10 5
2 1 1 1 1 1 3 2
a a a a a a
C a C a a
a a a a a a
− + − − +      
= − =  = − +      
− − + + −      
,
pentru orice număr întreg a
3p
1
10 5 0 2
a a− + =  = ∉ℤ , deci matricea ( )C a este inversabilă, pentru orice număr întreg a 2p
2.a) ( )( )1 2 2 1 1 2 2 1 1∗ = ⋅ − ⋅ − + = 3p
1 3 1 4= ⋅ + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Varianta 1
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) 2
4 4 2x x x x∗ = − + , pentru orice număr real x 2p
2 2
4 4 2 2 4 4 0x x x x− + =  − = , de unde obținem 0x = sau 1x = 3p
c) ( ) ( )( )1 21 2 1 1 1m m
m m
∗ + = − + + , pentru orice număr întreg nenul m 2p
( )( )22 1 1 0m m
− + = și, cum m este număr întreg nenul, obținem 2m = − 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2 ' ''' 2 1 lnf x x x= + + = 2p
2
1 4 1
4 x
x x x
+
= + = , ( )0,x ∈ +∞ 3p
b)
( ) 2
2 2
2 2 2
2
1
2
ln 2 1
lim lim lim 1 44 4 1
x x x
x
f x x x x
x x x x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
+ − +  = = =
 + + + + + + 
 
3p
2
2
1
2
lim 2
1 4
1
x
x
x x
→+∞
+
= =
+ +
2p
c) ( ) 0f x′ > , pentru orice ( )0,x f∈ +∞  este strict crescătoare, deci f este injectivă 2p
f este continuă, ( )
0
lim
x f x
→ = −∞ și ( )lim
x f x
→+∞ = +∞ , deci f este surjectivă, de unde
obținem că f este bijectivă 3p
2.a) ( )4 4 2
2
0 0
4
22 0
x
f x x
dx x dx
e x = = =
+
  3p
16 0 8
2
= − = 2p
b)
( )( )
1 1 1
3
0 0 0
1 1
2 0 0
x x x x
f x x dx xe dx xe e dx e e− = = − = − =   3p
1 1e e= − + = 2p
c)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 6 4
2 2 4 2 5
1 1 1 1
2 21 1 1 1'2 2 21
2 2 3 21 1
x x x x e e
f x dx x e x dx x e dx x dx e
x x
−
⋅ = ⋅ + = + = + = +    3p
4 4
21
2 2
e e e e a
− −
+ = + , de unde obținem 21a = 2p