Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2022 – varianta 3

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )5 1 2 2 5 3i i i+ − − = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 3f x x x= − − . Determinați numărul real a pentru care
( ) 2
1f a a= + .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )2
3log 2 1 2x + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta
să aibă cifrele impare și distincte.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,0A , ( )1,6B şi ( )4, 2C . Determinați
coordonatele punctului D , știind că AB DC=
  .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , dreptunghic în A , astfel încât 10BC = și sin 2sinB C= . Arătați că
lungimea laturii AB este egală cu 2 5 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
, 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
 
 
=  
 
 
și ( )
1 0
1 0
0 0 1
x x
A x x x
+ − 
 
= − 
 
 
, unde x este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = .
5p b) Arătați că ( )( ) ( )( )3 3 3A x I A x I O− − = , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( ) ( ) 31A x A x xA x x I⋅ = − − .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( ) ( )2 2 3x y x y x y∗ = + − − − .
5p a) Arătați că 0 2 5∗ = .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( )1 8x x∗ + = .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale pentru care 2m n mn∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) ( )2 5 10f x x x x= − + .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
5 3 2
2
x x
f x x
− +
′ = , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Arătați că ( ) 5
2
1
lim
x
x
f x
ex x→+∞
  = 
 
.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 1
1
x
x
f x x e e
= + + + .
5p a) Arătați că ( )
2 2
0
1 1
1x
f x dx e
e
 
− = + 
+ 
 .
5p b) Arătați că ( )( )
1
1
1x x
e f x x e dx
−
− − = .
5p c) Determinați numărul real m pentru care ( ) ( )( )
1
0
2
2
m
x f x f x dx e
+ − = − .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 3
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) 2
5 1 2 2 5 5 10 10 2i i i i i i+ − − = + − + = 3p
( )5 2 1 3= + ⋅ − = 2p
2. ( ) 2 2 3f a a a= − − , deci 2 2
2 3 1a a a− − = + 3p
2 4a− = , de unde obținem 2a = − 2p
3. 2 2 2
2 1 3 4 0x x+ =  − = 3p
2x = − sau 2x = , care convin 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 20 de numere care au cifrele impare și
distincte, deci sunt 20 de cazuri favorabile, de unde obținem 20 2
90 9
p = = 3p
5. AB DC ABCD= 



 


 este paralelogram, deci segmentele AC și BD au același mijloc 2p
Mijlocul segmentului AC are coordonatele ( )3,1 , de unde obținem ( )5, 4D − 3p
6. sin AC
B BC
= , sin AB
C BC
= , deci 2AC AB= 2p
Cum 2 2 100AB AC+ = , obținem 2 5AB = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
2 1 0 2 1 0
1 1 0 0 det 1 1 0 0
0 0 1 0 0 1
A A
− − 
 
=  = = 
 
 
2p
( )0 0 0 0 0 1 1= + + − − − − = 3p
b)
( ) 3
0
0
0 0 0
x x
A x I x x
− 
 
− = − 
 
 
, pentru orice număr real x 2p
( )( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 3
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
x x x x
A x I A x I x x x x O
 − − +      − − = − − + = =    
   
 
, pentru orice număr
real x
3p
c) ( ) ( ) ( ) 32A x A x A x I⋅ = − , pentru orice număr real x 2p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 3 32 1 2A x I xA x x I x A x I O− = − − ⇔ − − = , de unde obținem 0x = sau
2x = 3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 3
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( ) ( )2
0 2 0 2 2 0 2 3∗ = + − − − = 3p
4 4 3 5= + − = 2p
b) ( ) 2
1 4 4x x x x∗ + = + , pentru orice număr real x 2p
2 2
4 4 8 2 0x x x x+ = ⇔ + − = , de unde obținem 2x = − sau 1x = 3p
c) ( ) ( )2 2 2
2 3 2 2 2 3 0m n m n mn m n m n+ − − − = ⇔ + − + − = 2p
( ) ( )2 2
1 1 5m n− + + = și, cum m și n sunt numere naturale, obținem perechile ( )0,1 , ( )2,1
și ( )3,0 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) ( )2 1
' 2 5 5 10 2
f x x x x x x
= − + − + ⋅ = 3p
( )22 5 3 25 15 10
2 2
x xx x
x x
− +− +
= = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )' 0 1f x x= ⇔ = sau 2x = 2p
( )' 0f x ≥ , pentru orice ( ]0,1x ∈ , deci f este crescătoare pe ( ]0,1 , ( )' 0f x ≤ , pentru orice
[ ]1, 2x ∈ , deci f este descrescătoare pe [ ]1,2 și ( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )2,x ∈ +∞ , deci
f este crescătoare pe [ )2, +∞
3p
c)
( )
2 2
5 10
5
2 55 5 10
2 2 2
5 10 5 10
lim lim lim 1
x x
xx x x
x
x x x
f x x x x
x x x x
− + ⋅
− +
→+∞ →+∞ →+∞
 
    − + − + 
= = + =             
 
3p
5 10
lim 15 1x
x
xe e e
→+∞
− +
−
= = = 2p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
0 0
21
21 0
x x
x
x
f x dx x e dx e
e
  
− = + = + =    +   
  3p
2 2
2 1 1e e= + − = + 2p
b)
( )( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
' 11 ln 1
1 1 1
xx
x x x
x x
ee
e f x x e dx dx dx e
e e− − −
+
− − = = = + =
+ + −
   3p
( ) 1
ln 1 ln ln 1
e
e e
e
+
= + − = = 2p
c)
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
0 0 0
1
'1 0
x x x x x x
x f x f x dx x e e dx x e e x dx x e e x− − −
+ − = + + = − + = − + −  
( )
1 2
0
11 5 2
1 2 20
x x x x x
e e x dx e e e
e e
− − 
− − + = − + − + + = −  
 

3p
5 2 2
2 2
m
e e
− = − , de unde obținem 5m = 2p