Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2022 – sesiunea iunie–iulie, 21 iunie 2022, varianta 1

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )8 6 6 6 6 1 2− + − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 3f x x m= + , unde m este număr real. Determinați numărul
real m pentru care ( )( )0 4f f = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2
3 2 4 4x x
⋅ + = .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifra zecilor divizor al numărului 6 .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră dreapta d de ecuație 3 2y x= − și punctul ( ),A a a , unde
a este număr real. Determinați numărul real a , știind că punctul A aparține dreptei d .
5p 6. Se consideră triunghiul isoscel ABC , cu 10AB = și cos 0A = . Arătați că aria triunghiului ABC
este egală cu 50 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
2
1
0 1 2
0 0 1
x x
A x x
 −
 
= − 
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 1A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( )A x A y A x y⋅ = + , pentru orice numere reale x și y .
5p c) Determinați numărul natural n pentru care ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 3 2A n A n A n A n A n⋅ + ⋅ + ⋅ + = .
2. Pe mulțimea [ )0,M = +∞ se definește legea de compoziție 2 2
2 2
x y
x y y x
∗ = +
+ + .
5p a) Arătați că 1 0 1∗ = .
5p b) Arătați că 0e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p c) Determinați x M∈ , x nenul, pentru care 4
x x
x
∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 x
x
f x e x
= + − .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )2
1
'
x
x
e x
f x
e x
−
=
−
, x ∈ ℝ .
5p b) Determinați intervalele de monotonie a funcției f .
5p c) Demonstrați că, pentru orice ( ]1,2m∈ , ecuația ( )f x m= are soluție unică.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2
3 9f x x x= − + + .
5p a) Arătați că ( )( )
5 2
1
9 0f x x dx− + = .
5p b) Arătați că ( )
4
0
2
3
x dx
f x x =
+ − .
5p c) Pentru fiecare număr natural nenul n se consideră numărul ( )
1
0
n
n
x
I dx
f x
=  . Demonstrați că
lim 0n
n I
→+∞ = .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 1
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )8 6 6 6 6 1 8 6 6 6 6 6− + − = − + − = 3p
8 6 2= − = 2p
2. ( )0f m= , ( )( )0 4f f m=
 3p
4 4m = , de unde obținem 1m = 2p
3. 3 4 4 4x x
⋅ + = , deci 4 4 4x
⋅ = 3p
0x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
Deoarece cifra zecilor poate fi 1, 2 , 3 sau 6 , în mulțimea numerelor naturale de două cifre
sunt 4 10 40⋅ = de numere care au cifra zecilor divizor al numărului 6 , deci sunt 40 de
cazuri favorabile, de unde obținem 40 4
90 9
p = =
3p
5. 3 2a a= − 3p
1a = 2p
6.
2
A
π
= 2p
10 10 50
2
ABCAC AB ∆
⋅
=  = =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
1 1 1 1 1 1
1 0 1 2 det 1 0 1 2
0 0 1 0 0 1
A A
− − 
 
= −  = − = 
 
 
2p
1 0 0 0 0 0 1= + + − − − = 3p
b)
( ) ( )
2 2
1 2
0 1 2 2
0 0 1
y x y xy x
A x A y y x
 − − + +
 
⋅ = − − = 
 
 
3p
( ) ( )
( ) ( )
2
1
0 1 2
0 0 1
x y x y
x y A x y
 − + +
 
= − + = + 
  
 
, pentru orice numere reale x și y 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 6A n A n A n A n A n⋅ + ⋅ + ⋅ + = + , pentru orice număr natural n 3p
2 2
4 6 2 2 3 0n n n n+ = ⇔ − − = și, cum n este număr natural, obținem 3n = 2p
2.a) 2 1 2 0
1 0 0 2 1 2
⋅ ⋅
∗ = + =
+ + 3p
1 0 1= + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 1
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
b) 2 2 0
0 0 2 2
x
x x
x
⋅
∗ = + =
+ + , pentru orice x M∈ 2p
2 0 2
0 2 0 2
x
x x
x
⋅
∗ = + =
+ + , pentru orice x M∈ , deci 0e = este elementul neutru al legii de
compoziție „ ∗ ”
3p
c)
( ) ( )
2 3
8
4 2 8 8
4 2 2 2 22
x x xxx x x x x x x x
x
+
∗ = + = + =
+ + + ++
, pentru orice x M∈ , x nenul 3p
( )
3 8
2
x x
x x
+ =
+ și, cum x M∈ , x nenul, obținem 2x = 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
( )2
1
'
x x
x
e x x e
f x
e x
− − −
= =
−
3p
( )
( )
( )
2 2
1xx x
x x
e xe xe
e x e x
−−
= =
− −
, x ∈ ℝ 2p
b) ( )' 0 1f x x= ⇔ = ; pentru orice ( ],1x ∈ −∞ , ( )' 0f x f≥  este crescătoare pe ( ],1−∞ 3p
Pentru orice [ )1,x ∈ +∞ , ( )' 0f x f≤  este descrescătoare pe [ )1,+∞ 2p
c) ( )lim 1
x
f x
→−∞
= , ( ) 1
1 2 1
f e
= + − , ( )lim 2
x
f x
→+∞
= 3p
Cum f este continuă, f este strict crescătoare pe ( ),1−∞ și f este strict descrescătoare
pe ( )1,+∞ , obținem că, pentru orice ( ]1,2m∈ , ecuația ( )f x m= are soluție unică 2p
2.a)
( )( ) ( )
5 5 2
2
1 1
5
9 3 3 2 1
x
f x x dx x dx x
 
− + = − = − =  
 
  3p
25 1
15 3 0
2 2
= − − + = 2p
b)
( )
( )24 4 4 2
2 2
0 0 0
' 49 9
3 09 2 9
xx x
dx dx dx x
f x x x x
+
= = = + =
+ − + +
   3p
5 3 2= − = 2p
c)
( )
1 1
2
0 0 3 9
n n
n
x x
I dx dx
f x x x
= =
− + +
  , pentru orice număr natural nenul n 2p
2
2
0 1 3 9 3 2 0 23 9
n n
x x
x x x x
x x
≤ ≤  − + + ≥ − ≥  ≤ ≤
− + +
, deci ( )
1
0 2 1
nI n
≤ ≤ + ,
pentru orice număr natural nenul n și, cum ( )
1
lim 0
2 1n n→+∞
=
+ , obținem lim 0n
n
I
→+∞
=
3p