Textul subiectului și baremului

Subiect BAC Matematică M1 Mate-Info 2022 – sesiunea august–septembrie, 17 august 2022, varianta 7

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( )2 3 6 2i i i− − = , unde 2 1i = − .
5p 2. Se consideră funcția ( ) 2
: ,f f x x mx→ = −ℝ ℝ , unde m este număr real. Determinați numărul real
m pentru care ( ) ( )1 1f f− = .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 1
27 9x x− = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea numerelor naturale de două cifre,
acesta să aibă cifrele mai mici sau egale cu 3 .
5p 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,2A și ( )1, 1B − . Determinați coordonatele
punctului C pentru care 2AC BC=
  .
5p 6. Se consideră expresia ( ) 2
sin 2 2 tg sin 3
x
E x x x= − ⋅ , unde 0, 2
x
π 
∈ 
  . Arătați că 0
4
E
π  = 
  .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
 
=  
 
 
și ( )
1 1
1 1
1 1 0
x x
A x x x
− 
 
= − 
 
 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 2A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( ) 31 1 2A A x A x I⋅ − − = , pentru orice număr real x .
5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( ) ( ) 31 1 3 1 2A A A x A I⋅ ⋅ = + .
2. Pe mulțimea [ )0,M = +∞ se definește legea de compoziție ( )
1
xy x y
x y xy
+
∗ = + .
5p a) Arătați că 1 3 3∗ = .
5p b) Arătați că 1e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ”∗ .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere naturale nenule, cu m n≤ , pentru care ( )
1 1 1
16 m n
m n
∗ = ⋅ ∗ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 1
x
x x
f x e
− +
= .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )1 4
' x
x x
f x e
− −
= , x ∈ℝ .
5p b) Arătați că axa Ox este asimptotă orizontală spre +∞ la graficul funcției f .
5p c) Demonstrați că ecuația ( )f x n= are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x x= + .
5p a) Arătați că ( )2
2
0
2
4
f x dx
x
=
+
 .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )
5
0
19
3
f x dx = .
5p c) Pentru fiecare număr natural n , 2n ≥ , se consideră numărul ( )
2
2
1
n
n
x
I dx
f x
=  . Determinați numărul
natural n , 2n ≥ , pentru care 2
3
4 1
n nI I n
+ + = − .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Varianta 7
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocațională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) 2
2 3 6 6 2 6i i i i i i− − = − − = 3p
( )2 1 2= − ⋅ − = 2p
2. ( )1 1f m− = + , ( )1 1f m= − , unde m este număr real 2p
1 1m m+ = − , de unde obținem 0m = 3p
3. 3 3 2
3 3x x− = , de unde obținem 3 3 2x x− = 3p
3x = 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale de două cifre sunt 3 4 12⋅ = numere cu cifrele mai mici sau
egale cu 3 , deci sunt 12 cazuri favorabile, de unde obținem 12 2
90 15
p = = 3p
5. B este mijlocul segmentului AC 3p
3 1
2
Cx + = și 2 1
2
Cy + = − , de unde obținem 1Cx = − și 4Cy = − 2p
6. sin 1
2
π = , tg 1
4
π = , 1
sin 6 2
π = 3p
1
1 2 1 1 1 0
4 2
E
π  = − ⋅ ⋅ = − = 
  2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )( )
0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 det 0 1 0 1
1 1 0 1 1 0
A A
 
 
=  = = 
 
 
2p
0 1 1 0 0 0 2= + + − − − = 3p
b)
( ) ( ) ( )
1 0 1 1 2 1
1 0 1 1 1 2 1 1
1 1 0 1 1 2
x x
A A A x x x
+ −   
   
=  ⋅ = − +   
   
   
, pentru orice număr real x 3p
( ) ( ) ( ) ( ) 3
1 2 1 2 0 0
1 2 1 1 1 1 0 2 0 2
1 1 0 0 0 2
x x
A x x x A A x A x I
− −   
   
− = − −  ⋅ − − = =   
   
   
, pentru orice număr
real x
2p
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3 31 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1A A A x A A A x A A x I A x I A⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ − + = − + + ,
pentru orice număr real x 3p
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 32 2 2 1 3 1 2 2 1A x I A A I A x A− + + = +  − = , de unde obținem 2 1x − = , deci
3x = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Varianta 7
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
2.a) ( )1 3 1 3
1 3 1 3 1
⋅ +
∗ = =
⋅ + 3p
3 4 3
4
⋅
= = 2p
b) ( ) ( )1 1 1
1 1 1 1
x x x x
x x
x x
⋅ ⋅ + +
∗ = = =
⋅ + + , pentru orice x M∈ 2p
( ) ( )1 1 1
1 1 1 1
x x x x
x x
x x
⋅ ⋅ + +
∗ = = =
⋅ + + , pentru orice x M∈ , deci 1e = este elementul neutru al
legii de compoziție „ ∗”
3p
c)
( ) ( ) ( )1 1 1 1
;
1 16 16 1
mn m nm n m n
m n mn mn mn
++
∗ = ⋅ ∗ = ⋅
+ + , pentru orice numere naturale nenule m și n 3p
2 2 16m n = și, cum m și n sunt numere naturale nenule, cu m n≤ , obținem perechile ( )1,4 și
( )2,2 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 3 3 1
'
x x
x
x e x x e
f x
e
− − − +
= = 3p
( )( )2 1 45 4
x x
x xx x
e e
− −− + −
= = , x ∈ℝ 2p
b)
( ) 2 3 1 2 3 2
lim lim lim lim 0x x xx x x x
x x x
f x e e e→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
− + −
= = = = 3p
Dreapta de ecuație 0y = , adică axa Ox , este asimptota orizontală spre +∞ la graficul lui f 2p
c) ( )' 0 1f x x= ⇔ = sau 4x = ; pentru orice ( ),1x ∈ −∞ , ( )' 0f x f<  este strict
descrescătoare pe ( ),1−∞ , pentru orice ( )1,4x ∈ , ( )' 0f x f>  este strict crescătoare pe
( )1,4 și pentru orice ( )4,x ∈ +∞ , ( )' 0f x f<  este strict descrescătoare pe ( )4,+∞
3p
Cum ( )lim
x f x
→−∞ = +∞ , ( ) 4
5
4 1f e
= < și funcția f este continuă, obținem că ecuația
( )f x n= are soluție unică, pentru orice număr natural nenul n
2p
2.a) ( )2 2 2
2
0 0
2
2 04
f x x
dx xdx
x
= = =
+
  3p
4 0 2
2
= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
5 5 2 2 2 2
0 0
51 1'4 4 4 4
2 3 0
f x dx x x dx x x= + + = + + =  3p
( )
1 19
27 8
3 3
= − = 2p
c)
( )
2 2 2
22 2
1 1 44
n n
n
x x
I dx dx
xx x
−
= = ++
  , pentru orice număr natural n , 2n ≥ 2p
( )2 22 1 1
2 2
1
24 2 1
4 1 14 1
n n n
n n
x x x
I I dx n nx
− − −
+
+ −
+ = = =
− −+
 , deci
1
2 1 3
1 1
n
n n
− − =
− − , de unde obținem
1
2 4n− = , deci 3n = , care convine
3p