Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M3 Tehnologic 2022 – 29 martie 2022

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați termenul 1a al progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ , știind că 3 6a = și 4 9a = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 3f x x x= + − și :g →ℝ ℝ , ( ) 3g x x= − . Determinați
numerele reale a pentru care ( ) ( )f a g a= .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ( )3log 3 2x + = .
5p 4. În urma unei scumpiri cu 30% , prețul unui produs a crescut cu 60 de lei. Determinați prețul
produsului după scumpire.
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,1A − , ( )2,3B și dreapta d de ecuație
2y x a= + , unde a este număr real. Determinați numărul real a , știind că mijlocul segmentului
AB aparține dreptei d .
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , cu AB AC= , 12BC = și măsura unghiului B egală cu 45° .
Arătați că aria triunghiului ABC este egală cu 36 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 1 2 1
x x
A x x
 
=  
+ 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 0 0A = .
5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( )2 4 2 2A A aA+ − = .
5p c) Arătați că, dacă ( )2X ∈ ℝ
M astfel încât ( ) ( )1X A A m⋅ = , unde m este număr întreg, atunci
matricea X are toate elementele numere întregi.
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )( )1 1 1x y x y x y∗ = + − − + .
5p a) Arătați că 2 1 1∗ = .
5p b) Arătați că legea de compoziție „ ∗ ” este comutativă.
5p c) Determinați numerele naturale n pentru care ( ) 2
1n n n∗ − ≥ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
3 ln
x
f x x
x
+
= + .
5p a) Arătați că ( ) 2
3
6
' x x
f x x
− −
= , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul
funcției f .
5p c) Demonstrați că 2
2 1 3
ln 3 3
x
x x
≥ − − , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ .
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 1
2
x
e
f x x= + + .
5p a) Arătați că ( )
2
0
4
2
x
e
f x dx
 
− =  
 
∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
5p b) Arătați că ( )( )
1
0
5
2 1 3
x f x dx− =∫ .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( )( ) ( ) ( )( )0
2
1
3 1 3
8
e e a
f x x f x dx e−
+ +
− ⋅ =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 4 3 3r a a= − = , unde r este rația progresiei aritmetice ( ) 1n n
a ≥ 2p
3 1 12 6 2 3 0a a r a= + ⇒ = − ⋅ = 3p
2. ( ) ( ) 2 2
2 3 3 0f a g a a a a a a= ⇔ + − = − ⇔ + = 3p
1a = − sau 0a = 2p
3. 2
3 3 3 9x x+ = ⇔ + = 3p
6x = , care convine 2p
4. 30 60
100 x⋅ = , unde x este prețul înainte de scumpire, deci 200x = de lei 3p
După scumpire, prețul produsului este 200 60 260+ = de lei 2p
5. ( )1, 2M − , unde M este mijlocul segmentului AB 2p
( )2 2 1 a= ⋅ − + , de unde obținem 4a = 3p
6. Triunghiul ABC este dreptunghic isoscel, de unde obținem 6 2AB AC= = 3p
6 2 6 2 36
2 2
ABC
AB AC
∆
⋅ ⋅
= = =
A 2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
0 0 0 0
0 det 0
1 1 1 1
A A
 
= ⇒ = = 
  3p
0 1 0 1 0= ⋅ − ⋅ = 2p
b) ( ) ( ) 4 4 2 2 6 6
2 4 2 2 1 9 1 3 3 15
A A − −     
+ − = + = =     
−      3p
( )
2 2
3 3 2
1 5 A
 
= = 
  , de unde obținem 3a = 2p
c)
( ) ( )( )
1 1
1 det 1 2
1 3
A A
 
= ⇒ = 
  și ( )( ) 1
3 1
2 2
1 1 1
2 2
A −
 
− 
=  
 − 
 
2p
( ) 1 2 1
m m
A m m
 
=  
+  și, cum ( ) ( )( ) 1
1X A m A −
= ⋅ , obținem 0
1
m
X m m
 
=  
− +  , unde m este
număr întreg, deci matricea X are toate elementele numere întregi
3p
2.a) ( )( )( )2 1 2 1 2 1 1 1 1∗ = + − − + = 3p
3 1 0 1 1= ⋅ ⋅ + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
b) ( )( )( )1 1 1x y x y x y∗ = + − − + = 2p
( )( )( )1 1 1y x y x y x= + − − + = ∗ , pentru orice numere reale x și y , deci legea de
compoziție „ ∗” este comutativă 3p
c) ( ) 2
1 1n n n n∗ − = − + + , pentru orice număr natural n 2p
2 2 2
1 2 1 0n n n n n− + + ≥ ⇔ − − ≤ și, cum n este număr natural, obținem 0n = sau 1n = 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )2
4
3 2 1x x x
f x xx
− + ⋅
′ = + = 3p
2
3 3
6 1 6x x x
xx x
− − − −
= + = , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( )1 4f = , ( )1 6f ′ = − 2p
Ecuația tangentei este ( ) ( )( )1 ' 1 1y f f x− = − , adică 6 10y x= − + 3p
c) ( )' 0 3f x x= ⇒ = ; ( )' 0f x ≤ , pentru orice ( ]0,3x f∈ ⇒ este descrescătoare pe ( ]0,3 ,
( )' 0f x ≥ , pentru orice [ )3,x f∈ +∞ ⇒ este crescătoare pe [ )3, +∞ , deci ( ) ( )3f x f≥ ,
pentru orice ( )0,x ∈ +∞
3p
2 2 2
3 2 2 3 2 1 3
ln ln 3 ln ln
3 3 3 3 3
x x x x
x xx x x
+ +
+ ≥ + ⇒ ≥ − ⇒ ≥ − − , pentru orice ( )0,x ∈ +∞ 2p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
0 0
2
1
2 2 0
x
e x
f x dx x dx x
   
− = + = + =      
   
∫ ∫ 3p
2
2 2 4
2
= + = 2p
b)
( )( ) ( ) ( )
1 1 3
2
0 0
1 12
2 1 2 1
3 0 0
x xx
x f x dx x xe dx x e− = + = + − =∫ ∫ 3p
2 5
1
3 3
= + = 2p
c)
Cum ( ) ( )' 1 2
x
e
f x f x x= + = − , x ∈ ℝ , obținem ( )( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1 1
'f x x f x dx f x f x dx
− −
− ⋅ = ⋅ =∫ ∫
( )2 2
2
0 9 1
2 81
f x e
e
−
= =
−
3p
( )( )2
2 2
3 1 39 1
8 8
e e ae
e e
+ +− = , de unde obținem 1a = − 2p