Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2022 – 29 martie 2022

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Calculați termenul 4b al progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ , știind că 1 2b = și 2 4b = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2 1f x mx x= − + , unde m este număr real nenul. Determinați
numărul real nenul m pentru care axa Ox este tangentă graficului funcției f .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 1
3 3 6 3 6x x x+ −
− − ⋅ = .
5p 4. Se consideră mulțimea A , a numerelor naturale de două cifre. Determinați probabilitatea ca,
alegând un număr n din mulțimea A , numărul 2 60n − să aparțină mulțimii A .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 4A − , ( )5, 2B și C , mijlocul segmentului AB .
Determinați ecuația dreptei d care trece prin punctul C și este perpendiculară pe dreapta AB .
5p 6. Se consideră triunghiul isoscel ABC , cu măsura unghiului A egală cu 120° și 6AB = . Arătați că
aria triunghiului ABC este egală cu 9 3 .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 2
1 0
0 1
I  
=  
 
, 0 1
1 0
A  
=  
− 
și ( ) 2B x xI iA= + , unde x este număr real și
2 1i = − .
5p a) Arătați că det 1A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )3 5 8B B B x⋅ = .
5p c) Determinați perechile ( ),m n de numere întregi pentru care matricea ( ) ( )B m iB n+ nu este
inversabilă.
2. Pe mulțimea [ )1,M = +∞ se definește legea de compoziție ( )( )1 1x y xy x y∗ = − − − .
5p a) Arătați că 2 5 8∗ = .
5p b) Arătați că 1e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p c) Demonstrați că ( ) ( )nx y x n y∗ ≥ ∗ , pentru orice ,x y M∈ și orice număr natural n , 2n ≥ .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2
4
3
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
( )
2
22
6 1
'
3
x
f x
x x
−
=
+
, ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ( )0,a ∈ +∞ , știind că tangenta la graficul funcției f în punctul ( )( ),A a f a este
paralelă cu axa Ox .
5p c) Demonstrați că 2 2
2
1
13 5
x
x x
x x x
+
>
+ + +
, pentru orice ( )1,x ∈ +∞ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici şi Evaluare în Educaţie
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2x
x
e x
f x e
+
= .
5p a) Arătați că ( )
1
0
x
e f x dx e=∫ .
5p b) Arătați că ( )
0
1
1f x dx
−
= −∫ .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( )1
2
0
1
'' a e
F x f x dx e
+
=∫ , unde :F →ℝ ℝ este
primitiva funcției f cu proprietatea ( )0 0F = .

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2
1
2 2
b
q b
= = , unde q este rația progresiei geometrice ( ) 1n n
b ≥ 2p
( )33
4 1 2 2 2 32b b q= = ⋅ = 3p
2. Axa Ox este tangentă graficului funcției 0 4 4 0f m⇔ ∆ = ⇔ − = 3p
1m = 2p
3. ( )1 3 1 1 1
3 3 3 6 6 3 18 6 3 3
x x x− − −
− − = ⇔ ⋅ = ⇔ = 3p
1 1x − = − , deci 0x = 2p
4. Mulțimea A are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri posibile 2p
Numărul 2 60n − aparține mulțimii A dacă 10 2 60 99n≤ − ≤ , deci sunt 45 de cazuri
favorabile, de unde obținem nr. cazuri favorabile 45 1
nr. cazuri posibile 90 2
p = = = 3p
5. 1
3
ABm = − și, cum d AB⊥ , obținem 3dm = 2p
( )2,3C și, cum C d∈ , obținem că ecuația dreptei d este ( )3 3 2y x− = − , adică
3 3y x= − 3p
6. 6AC AB= = 2p
3
6 6
sin120 2 9 3
2 2
ABC
AB AC
∆
⋅ ⋅
⋅ ⋅ °
= = =
A 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( )
0 1
det 0 0 1 1
1 0
A = = ⋅ − ⋅ − =
− 3p
0 1 1= + = 2p
b) ( ) ( ) ( )( ) 2
2 2 2 23 5 3 5 15 8 16 8B B I iA I iA I iA i A A I iA⋅ = + + = + + ⋅ = + = 3p
( ) ( )28 2 8 2I iA B= + = , deci 2x = 2p
c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )21 det 2
1
m in i
B m iB n B m iB n m in i
i m in
+ − 
+ = ⇒ + = + − 
− + +  , unde ,m n∈ℤ 2p
( ) ( )B m iB n+ nu este inversabilă, deci ( ) ( )( ) ( )2 2
det 0 2 1 0B m iB n m n mn i+ = ⇒ − + − =
și, cum m și n sunt numere întregi, obținem perechile ( )1, 1− − și ( )1,1 3p
2.a) ( )( )2 5 2 5 2 1 5 1∗ = ⋅ − − − = 3p
10 4 8= − = 2p

Ministerul Educației
Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Simulare
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) ( )( )1 1 1 1 1x x x x∗ = ⋅ − − − = , pentru orice x M∈ 2p
( )( )1 1 1 1 1x x x x∗ = ⋅ − − − = , pentru orice x M∈ , deci 1e = este elementul neutru al legii
de compoziție „ ∗ ” 3p
c) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 1
1 1 1 1 1 1 1
x nx x
nx y x n y x n y nx y y x n nx
− − −
∗ − ∗ = − − − − − = − ⋅ − + − , pentru
,x y M∈ și n ∈ ℕ , 2n ≥
2p
Cum ( )1 1 1nx x x n− − = − − și 1x ≥ , n este număr natural, 2n ≥ , obținem 1 0nx x− − ≥ ,
deci ( ) ( )nx y x n y∗ ≥ ∗ , pentru orice ,x y M∈ și orice număr natural n , 2n ≥ 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( ) ( )
( )
2
22
2 3 4 2
3
x x x
xf x
x
⋅ + − ⋅
′ = =
+
3p
( )
( )
( )
22 2
2 22 2
6 12 6 8
3 3
xx x
x x x x
−+ −
= =
+ +
, ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) Tangenta la graficul funcției f în punctul ( )( ),A a f a este paralelă cu axa ( )' 0Ox f a⇔ = ,
deci 2
1 0a− =
3p
Cum ( )0,a ∈ +∞ , obținem 1a = 2p
c) ( )' 0f x < , pentru orice ( )1,x f∈ +∞ ⇒ este strict descrescătoare pe ( )1, +∞ 2p
( )
1 1
1 x x f x f x
x x
 
< < + ⇒ > + 
  , deci 2 2
2
1
13 5
x
x x
x x x
+
>
+ + +
, pentru orice ( )1,x ∈ +∞ 3p
2.a)
( ) ( ) ( )
1 1 2
0 0
1
2
0
x x x
e f x dx e x dx e x= + = + =∫ ∫ 3p
1 1e e= + − = 2p
b)
( ) ( ) ( )( )
0 0
1 1
0
1 2 2 1 1
x x
f x dx xe dx x x e− −
− −
= + = − + =
−
∫ ∫ 3p
( )2 1 1= − − − = − 2p
c)
( ) ( )'F x f x= , pentru orice x ∈ ℝ , deci ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
0
1 1
'' ' 20 0
f x
F x f x dx F x f x= − =∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1 0
1 ' 1 0 ' 0 2
f f
F f F f −
= − −
3p
( ) ( )' 2 1 x
f x x e−
= − , deci ( )' 1 0f = și, cum ( )0 0F = , obținem ( ) ( ) ( )1
2
0
2 1
'' e
F x f x dx e
− +
=∫ ,
deci 2a = −
2p