Textul subiectului și baremului

Simulare BAC Matematică M1 Mate-Info 2022 – 29 martie 2022

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Se consideră numerele complexe 1 1 2z i= − și 2 2z i= + . Arătați că ( )( )1 2 1 2z i z+ − = .
5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x x m= + + , unde m este număr real. Determinați
valorile reale ale lui m pentru care ( ) 0f x > , pentru orice număr real x .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 21 2log 2 logx x+ − = .
5p 4. Se consideră mulțimea A , a numerelor naturale de două cifre. Calculați probabilitatea ca, alegând
un număr din mulțimea A , acesta să aibă exact doi multipli în mulțimea A .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2, 2A − − , ( )3,1B și ( )2, 4M . Determinați
coordonatele punctului N , știind că patrulaterul ABMN este paralelogram.
5p 6. Se consideră triunghiul ABC , în care ( )sin cos 1A B C+ + = . Arătați că triunghiul ABC este
dreptunghic.
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( )
1 3
2 1 1
3 1
a
A a
a
 
 
= − 
 
 
și sistemul de ecuații
3 2
2 1
3 1
x y az
x y z
ax y z
+ + =
 + − = −
 + + =
, unde a este
număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 0A = .
5p b) Arătați că ( ) ( ) ( ) ( )3 1B a B a B a a B⋅ ⋅ = , pentru orice număr real a , unde ( ) ( ) ( )0B a A a A= − .
5p c) Demonstrați că, dacă sistemul de ecuații are o infinitate de soluții, atunci 0 0 0 0 0 0 0x y y z z x+ + ≤ ,
pentru orice soluție ( )0 0 0, ,x y z a sistemului de ecuații, cu 0x , 0y și 0z numere reale.
2. Pe mulțimea numerelor complexe se definește legea de compoziție 1 2
1 2
1 24 1
z z
z z z z
+
∗ = ⋅ + .
5p a) Arătați că ( ) 1
1 2 9
− ∗ = .
5p b) Arătați că 0e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p c) Demonstrați că există cel puțin trei numere complexe distincte și nenule care verifică egalitatea
z z z∗ = .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 4 16x
f x x
+
= .
5p a) Arătați că ( ) ( )( )2 2
2 4
4 4
'
16
x x
f x
x x
− +
=
+
, ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 2
5p c) Determinați valorile reale ale lui m pentru care ecuația ( ) 4
f x f m
x
 
+ = 
  are exact două soluții.
2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1
x
x
f x e
+
= .
5p a) Arătați că ( )
3
0
12x
e f x dx =∫ .
5p b) Arătați că orice primitivă G a funcției :g →ℝ ℝ , ( ) ( )
1
g x f x
= este convexă.
5p c) Determinați numărul real a pentru care
( )
1 3
0
2
3x
x a
dx
e f x
−
=∫ .

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 1 din 3
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_mate-info
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Simulare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 1 2 2 1 1 1z i z i i i i i+ − = − + + − = − + = 2p
2
1 2i= − = 3p
2. 0∆ < și, cum 16 4m∆ = − , obținem 16 4 0m− < 3p
( )4,m ∈ +∞ 2p
3. ( )2 21 log 2 logx x+ − = , deci 2log 1
2
x
x =
− , de unde obținem 2
2
x
x =
− 3p
4x = , care convine 2p
4. Mulțimea numerelor naturale de două cifre are 90 de elemente, deci sunt 90 de cazuri
posibile 2p
Numărul n din mulțimea A are exact doi multipli în mulțimea A dacă 2 99 3n n≤ < , de
unde obținem că numerele din mulțimea A care au exact doi multipli în mulțimea A sunt
34, 35, 36, ..., 49 , deci sunt 16 cazuri favorabile și nr. cazuri favorabile 16 8
nr. cazuri posibile 90 45
p = = =
3p
5. ( )0,1P , unde P este mijlocul segmentului AM 2p
Segmentele AM și BN au același mijloc, de unde obținem ( )3,1N − 3p
6. A B C
π+ = − , deci sin cos 1C C+ = 2p
2 2
sin 2sin cos cos 1 sin 2 0C C C C C+ + = ⇒ = și, cum ( )0,C
π∈ , obținem 2
C
π
= , deci
triunghiul ABC este dreptunghic
3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a)
( )( ) ( ) ( )
1 3 1
det 1 2 1 1 1 1 1 2 3 1 3 1 1 1 1 1 1 3 1 2 3 1
1 3 1
A = − = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = 3p
1 6 3 1 3 6 0= + − − + − = 2p
b)
( )
0 0
0 0 0
0 0
a
B a
a
 
 
=  
 
 
, ( ) ( )
2
2
0 0
0 0 0
0 0
a
B a B a
a
 
 
⋅ =  
 
 
, pentru orice număr real a 2p
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3
3
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1
1 0 00 0
a
B a B a B a a a B
a
   
   
⋅ ⋅ = = =   
   
  
, pentru orice număr real a 3p

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 2 din 3
c) ( )( )det 0A a = ; cum ( )( ) 2
det 3 2A a a a= − + − , obținem 1a = , pentru care sistemul este
incompatibil, deci nu convine, sau 2a = , pentru care sistemul are o infinitate de soluții 2p
Dacă 2a = , soluția sistemului este ( ) ( )0 0 0, , 1, 1,x y z
α α α= − − + și, cum
α este număr
real, obținem ( )( ) ( ) ( ) ( )2
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0x y y z z x
α α α α α α
α+ + = − − + + − + + − = − − ≤ ,
pentru orice soluție ( )0 0 0, ,x y z a sistemului de ecuații, cu 0x , 0y și 0z numere reale
3p
2.a) ( ) 1 2
1 2 4 1 2 1
− +
− ∗ = =
⋅ − ⋅ + 3p
1 1
4 2 1 9
= =
⋅ + 2p
b) 0
0 4 0 1
z
z z
z
+
∗ = =
⋅ ⋅ + , pentru orice număr complex z 2p
0
0 4 0 1
z
z z
z
+
∗ = =
⋅ ⋅ + , pentru orice număr complex z , deci 0e = este elementul neutru al
legii de compoziție „ ∗ ”
3p
c)
2
2
4 1
z
z z z
∗ = ⋅ + , pentru orice număr complex z 2p
2
2
4 1
z z
z
=
⋅ +
și z este număr complex nenul, deci 2
4 1 2z⋅ + = , de unde obținem 1
2
z =
și, de exemplu, numerele distincte nenule 1
2 , 1
2
− și 2
i verifică egalitatea dată
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a)
( )
3 4
4 44
2 2 4
4 16 2 162 16
16
x x x x xxf x x x x
⋅ − + − −+′ = = =
+
3p
( )( )2 24
2 4 2 4
4 416
16 16
x xx
x x x x
− +−
= =
+ +
, ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) ( ) 4
2 4
16 16
lim lim lim 1 1
x x x
f x x
x x x→+∞ →+∞ →+∞
+
= = + = 2p
( )( ) ( )
4 2
4 2
16 16
lim lim lim 0
16x x x
x x
f x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞
+ −
− = = =
+ +
, deci dreapta de ecuație
y x= este asimptota oblică spre +∞ la graficul funcției f
3p
c) ( )' 0 2f x x= ⇔ = ; ( )' 0f x < , pentru orice ( )0, 2x ∈ și ( )' 0f x > , pentru orice ( )2,x ∈ +∞ 2p
( ) ( ) ( ) ( )
4
: 0, , 2g g x f x f f x
x
 
+∞ → = + = 
 
ℝ , deci g este strict descrescătoare pe ( )0, 2
și g este strict crescătoare pe ( )2, +∞ și, cum g este continuă, ( )2 4 2g = ,
( )
0
lim
x
g x
→
= +∞ și ( )lim
x
g x
→+∞
= +∞ , obținem că ecuația ( )g x m= are exact două soluții
pentru ( )4 2,m ∈ +∞
3p

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_mate-info Simulare
Barem de evaluare și notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică-informatică
Filiera vocaţională, profilul militar, specializarea matematică-informatică
Pagina 3 din 3
2.a)
( ) ( )
3 3 3
2
0 0
3
1 3 0
x x
e f x dx x dx x
 
= + = + =  
 
∫ ∫ 3p
27 3 12
3
= + = 2p
b) G este primitivă a funcției ( ) ( )'g G x g x⇒ = , deci ( ) ( )'' 'G x g x= = 2p
( )
( )
2
22
1 0
1
x
e x
x
−
= ≥
+
, pentru orice x ∈ ℝ , deci funcția G este convexă 3p
c)
( ) ( )
1 1 1 13 3 3 2 2
2 2 2
0 0 0 0
1 1'1 1
21 1 1x
x x x x x
dx dx dx x x dx
e f x x x x
 + −
= = = + ⋅ + − = 
 
+ + + 
∫ ∫ ∫ ∫
( )2 2
2 12 1 11 2 2
2 1
2 3 30
x x x
 + + − = − + = 
 
 
3p
2 2 2
3 3
a− −
= , de unde obținem 2a = 2p