Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M4 Pedagogic 2022

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că( )
3 2 3 3 12− + = .
5p 2. Se consideră funcțiile:f → ,( )
1f x x= + și:g → ,( )
2 1g x x= − . Determinați
numerele naturalea pentru care( ) ( )
f a g a .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia2 1
3 2 2 6 120x x x+ +
 +  = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un numărn din mulțimea numerelor naturale nenule mai
mici decât114 , acesta să fie divizibil cu4 .
5p 5. Determinați numărul reala , știind că punctul( ,15)M a aparține drepteid de ecuație3 2y x a= + .
5p 6. Se consideră triunghiulABC dreptunghic înA , cu3AB = ,4AC = și înălțimeaAD , unde
punctulD aparține laturiiBC . Arătați că3
sin 5
BAD = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie asociativă2 1x y xy x y= − − + .
5p 1. Arătați că( ) ( )
1 1 5− − = .
5p 2. Demonstrați că1 1 1
2 2 2 2
x y x y
  
= − − +  
   , pentru orice numere realex șiy .
5p 3. Arătați că1e = este elementul neutru al legii de compoziție„ ” .
5p 4. Arătați că1 1 1
2 2 2
x x= = , pentru orice număr realx .
5p 5. Calculați1 2 3 2020
...
3 4 5 2022 .
5p 6. Determinați numărul real strict pozitivx , pentru care2 3
1 1 1
log log
2 2 2
x x
   
+ + =   
    .
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Se consideră matricele2
1 0
0 1
I  
=  
  ,0 2
2 0
A  
=  
  și2
( ) 2
a
M a a
 
=  
  , undea este număr real.
5p 1. Arătați că24A A I = .
5p 2. Arătaţi că2 ( )aI A M a+ = , pentru orice număr reala .
5p 3. Arătați că(2) (4) 6 (2)M M M = .
5p 4. Determinaţi perechile( )
,a b de numere naturale pentru care2( ) ( ) 7 4M a M b I A =  +  .
5p 5. Determinați numărul naturalk pentru caredet( ( 2)) 0M k +  .
5p 6. Determinați numărul reala ,2a  − , știind că inversa matricei( )M a este matricea( ) 2M a A−  .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_pedagogic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în
limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total
acordat pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1.( )
3 2 3 3 2 3 3 3 3 2 3− + = −  + = 3p12 2 3,=
deci( )
3 2 3 3 12− + = 2p
2.1 2 1a a+  − 2p2a 
și cuma este număr natural, obținem0a = sau1a = 3p
3.2
3 3 2 2 2 6 120x x x
   +  =18 6 2 6 120x x
 +  = , deci20 6 120x
 = 3p6 6x =1x =
2p
4. Mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât114 are113 elemente, deci sunt113
cazuri posibile 2p
În mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât114 sunt28 numere divizibile cu4 ,
deci sunt28 cazuri favorabile 2pnr. cazuri favorabile 28
nr. cazuri posibile 113
p = =
1p
5.( ,15) 15 3 2M a d a a  = + 3p15 5 3a a=  =
2p
6.2 2 5BC AB AC= + = ,2 9
5
AB BD BC BD=   = 3p3
sin 5
BD
BAD AB
= =
2p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.( ) ( )
1 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1− − =  −  − − − − − + = 2p2 1 1 1 5= + + + =
3p
2.1 1 1 1 1
2 2
2 2 2 2 2
x y xy x y x y y
   
= − − + + = − − − + =   
    3p1 1 1
2 2 2 2
x y
  
= − − +  
  
, pentru orice numere realex șiy 2p
3.1 1 1 1 1
1 2 1
2 2 2 2 2
x x x x
  
= − − + = − + =  
   , pentru orice număr realx 2p1 1 1 1 1
1 2 1 1
2 2 2 2 2
x x x x x
  
= − − + = − + = =  
  
, pentru orice număr realx , deci1e = este
elementul neutru al legii de compoziție„ ”
3p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_pedagogic Model
Filiera vocaţională, profilul pedagogic, specializarea învăţător-educatoare
Pagina 2 din 2
4.1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2 2
x x
  
= − − + =  
   , pentru orice număr realx 2p1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2 2
x x
  
= − − + =  
  
, deci1 1 1
2 2 2
x x= = , pentru orice număr realx 3p
5.1 2 3 2020 1 1 3 2020
... ...
3 4 5 2022 3 2 5 2022
 
= = 
  2p1 3 2020 1
...
2 5 2022 2
 
= = 
 
3p
6.2 3 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
log log 2 log log 2 log log ,
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x x x x
      
+ + = + − + − + =   +      
       3p2 3
1 1
2 log log 2 2
x x  + =2 3log log 0x x =
, de unde obținem1x = , care convine 2p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.0 2 0 2 4 0
2 0 2 0 0 4
A A      
 =  =     
      3p2
1 0 4 0
4 4 0 1 0 4
I    
=  =   
   
, deci24A A I = 2p
2.2
1 0 0 2 0 0 2
0 1 2 0 0 2 0
a
aI A a a
       
+ =  + = + =       
        3p2 ( )
2
a M a
a
 
= = 
 
, pentru orice număr reala 2p
3.( )( )
2 2 2 2(2) (4) 2 4 8 6 4M M I A I A I A I = + + = + + = 3p( )
2 212 6 6 2 6 (2)I A I A M= + = + = 
2p
4.2 2( ) ( ) ( 4) ( ) 7 4M a M b ab I a b A I A = +  + +  =  +   3p3ab =
și4a b+ = și cuma șib sunt numere naturale, obținem perechile( )
3,1 și( )
1,3 2p
5.( )
2 22 2
( 2) det ( 2) ( 2) 4 4
2 2
k
M k M k k k k
k
+ 
+ =  + = + − = + 
+  3p2 4 0k k+ 
șik număr natural, obținem0k = 2p
6.2 0 4 2
( ) 2 2 4 0 2
a a
M a A a a
−     
−  = − =     
−      2p( ) ( )
2( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )M a M a A M a A M a I −  = −   =
, deci2 5a = , și cum2a  − , obținem că5a = − 3p