Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M3 Tehnologic 2022

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 1
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că ( ) ( )8 1 2 2 1 36 1+ ⋅ − − = .
5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 5 1f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 5 2g x x= + . Determinați
coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g .
5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 6x x x+ = .
5p 4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = ,
numărul 4 n⋅ să fie element al mulțimii A .
5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A , ( )3, 4B și C , astfel încât punctul A este
mijlocul segmentului BC . Arătați că triunghiul AOC este dreptunghic isoscel.
5p 6. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC în care sin 30 sin cos 60 cosA A° ⋅ = ° ⋅ . Calculați tg A .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricele 3 6
2 3
A − 
=  
− 
, 2
1 0
0 1
I  
=  
 
și ( ) 0 2
1 3
a
B a a
− 
=  
 
, unde a este număr real.
5p a) Arătați că det 3A = .
5p b) Determinați numărul real x pentru care ( )2A A A B x⋅ + = .
5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( )( )det 3 4B a A B a⋅ + = .
2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )( )1x y xy x y∗ = + + .
5p a) Arătați că 1 2 9∗ = .
5p b) Arătați că 0e = este elementul neutru al legii de compoziție „ ∗ ”.
5p c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care numărul 1
N n n
= ∗ este întreg.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) ( ) 2
1 2
x x
f x x e= − − .
5p a) Arătați că ( ) ( )' 1x
f x x e= − , x ∈ ℝ .
5p b) Arătați că ( ) ( )
20
0
lim 0
x
f x f
x→
− = .
5p c) Arătați că ( ) ( )2
f x f x≤ , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ .
2. Se consideră funcția ( ): 4,f − +∞ → ℝ , ( ) 4
4
x
f x x
= + .
5p a) Arătați că ( ) ( )
2
1
4 6x f x dx+ =∫ .
5p b) Arătați că ( )
4 2
1
1 4ln 2f x dx
x ⋅ =∫ .
5p c) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este convexă.

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_tehnologic
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale;
profilul tehnic, toate calificările profesionale
• Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. ( ) ( ) ( )2
8 1 2 2 1 36 2 2 1 6+ ⋅ − − = − − = 3p
8 7 1= − = 2p
2. ( ) ( ) 5 1 5 2f x g x x x= ⇔ − = + 2p
Coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g sunt 2x = și 9y = 3p
3. 2 2
6x x x+ = 3p
0x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele n din mulțimea A pentru care numărul 4 n⋅ este element al mulțimii A sunt 0 ,
1 și 2 , deci sunt 3 cazuri favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 3
nr. cazuri posibile 10
p = = 1p
5. 3
2 2
Cx+
= și 4
1 2
Cy+
= , deci punctul C are coordonatele 1Cx = și 2Cy = − 2p
5OA = , 5OC = și 10AC = , deci 2 2 2
OA OC AC+ = , de unde obținem că triunghiul
AOC este dreptunghic isoscel 3p
6. 1
sin 30 2
° = , 1
cos 60 2
° = 2p
1 1
sin cos
2 2
A A⋅ = ⋅ , deci sin cosA A= , de unde obținem tg 1A = 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )
3 6
det 3 3 6 2
2 3
A −
= = ⋅ − − − ⋅ =
− 3p
9 12 3= − + = 2p
b) 3 0 0 6
0 3 2 6
A A A A A
− −   
⋅ = ⇒ ⋅ + =   
− −    2p
( )
0 3
2 2 1
1 3
A A A B
− 
⋅ + = = − 
− 
, de unde obținem 1x = − 3p
c) ( ) 2 4 3 6
3 6 6 9
a a
B a A a a
− − + 
⋅ =  
+ − − 
, ( ) 0 3 2
3 1 9
a
B a a
− 
=  
 
, deci ( ) ( ) 2 4 4
3 4 6 6
a
B a A B a a
− 
⋅ + =  
+ − 
,
pentru orice număr real a
3p
( ) ( )( )det 3 36 8B a A B a a⋅ + = − + , pentru orice număr real a , deci 1
36 8 4 9
a a− + = ⇒ = 2p

Ministerul Educației
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,
toate calificările profesionale
Pagina 2 din 2
2.a) ( )( )1 2 1 2 1 1 2∗ = ⋅ + + = 3p
3 3 9= ⋅ = 2p
b) ( )( )0 0 1 0 1x x x x x∗ = ⋅ + + = ⋅ = , pentru orice număr real x 2p
( )( )0 0 1 0 1x x x x x∗ = ⋅ + + = ⋅ = , pentru orice număr real x , deci 0e = este elementul
neutru al legii de compoziție „ ∗ ” 3p
c) 1 2
2 2N n n
n n
 
= + = + 
  , pentru orice număr natural nenul n 2p
N este număr întreg, deci 2
n este număr întreg și, cum n este număr natural nenul, obținem
1n = sau 2n =
3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( ) 2
' 1 2
x x x
f x e x e= + − − = 3p
( )1x x
xe x x e= − = − , x ∈ ℝ 2p
b) ( ) ( ) ( )
( )2 20 0
'0
lim lim 'x x
f x f f x
x x→ →
− = = 2p
( )
0 0
1 1
lim lim 0
2 2
x x
x x
x e e
x→ →
− −
= = = 3p
c) ( )' 0f x ≥ , pentru orice x f∈ ⇒ℝ este crescătoare pe ℝ 2p
Cum 2
0x x≤ ≤ , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ , obținem ( ) ( )2
f x f x≤ , pentru orice ( ],0x ∈ −∞ 3p
2.a)
( ) ( )
2 2 2
1 1
2
4 4 2 1
x f x dx x dx x+ = = =∫ ∫ 3p
8 2 6= − = 2p
b)
( ) ( ) ( )
4 4 4
2 2 2
2 2
1 1 1
41 2 1
2 2 4 2ln 4
4 4 1
x
f x dx dx x dx x
x x x
′
⋅ = = + ⋅ = + =
+ +
∫ ∫ ∫ 3p
2 ln 20 2 ln 5 4 ln 2= − = 2p
c) Dacă ( ): 4,F − +∞ → ℝ este o primitivă a funcției f , atunci ( ) ( )'F x f x= , pentru orice
( )4,x ∈ − +∞ 2p
( ) ( ) ( )2
16
'' ' 0
4
F x f x
x
= = >
+
, pentru orice ( )4,x ∈ − +∞ , deci orice primitivă a funcției f
este convexă
3p