Textul subiectului și baremului

Model oficial BAC Matematică M2 Științe ale Naturii 2022

Acesta este textul selectabil extras automat din documentele PDF ale acestei variante. Pentru formule, tabele, pseudocod sau grafice, verifică pagina originală din PDF înainte de a rezolva exercițiile.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de trei ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
5p 1. Arătați că numărul 2 2log 24 log 12 3N = − + este pătratul unui număr natural.
5p 2. Determinați numărul real a pentru care punctul ( )2
,A a a aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,
( ) 2 1f x x= − .
5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuația 2 2 2 2x x x− − = − .
5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1!, 2!, 3!, ..., 10!A = , acesta să fie
divizibil cu 9 .
5p 5. Se consideră triunghiul ABC și punctul D mijlocul segmentului BC . Arătați că, pentru orice
puncte E și F astfel încât AE FD=
  , are loc relația ( )2 EB FC AB AC+ = +
    .
5p 6. Arătați că ( ) ( )2 2
sin cos sin cos 2cos 2
2
x x x x x
π 
+ − − = − 
  , pentru orice număr real x .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1. Se consideră matricea ( ) 2 1
1 1
x
A x x
 
=   − 
, unde x este număr real.
5p a) Arătați că ( )( )det 1 3A − = .
5p b) Demonstrați că matricea ( )A x este inversabilă, pentru orice număr real x .
5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝ
M pentru care ( ) ( ) ( )1 1 2A X A A⋅ ⋅ = .
2. Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru
( )2 1 2x y xy x y= − + − + .
5p a) Arătați că 2 0 2= .
5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )2 2x x x− + = .
5p c) Determinați numerele raționale al căror simetric în raport cu legea de compoziție „  ” este număr
rațional.
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1. Se consideră funcția ( ) ( ): 0, 0,f +∞ → +∞ , ( ) ( )21
1 ln 1f x x x
x
 
= − + 
  .
5p a) Arătați că ( ) ( )2
2
1
' 1
x
f x x
−
= + , ( )0,x ∈ +∞ .
5p b) Determinați numărul natural nenul n , știind că tangenta la graficul funcției f în punctul
( )( ),A n f n este paralelă cu dreapta de ecuație 1 1
5
y x= + .
5p c) Demonstrați că funcția f este bijectivă.

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
2. Se consideră funcția ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 3 3
1 2ln x
f x x x
= − și funcția ( ): 0,F +∞ → ℝ , ( ) 2
ln x
F x x
= ,
o primitivă a lui f .
5p a) Arătați că ( )2
3
1
2ln 1
e x
x f x dx
x
 
+ = 
 
∫ .
5p b) Arătați că ( )
5 2
1
5ln 2
3 128
x f x dx⋅ + = −∫ .
5p c) Determinați numerele reale a pentru care ( )
2 2 1
2
e
e
a
x F x dx −
⋅ =∫ .

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 1 din 2
Examenul național de bacalaureat 2022
Proba E. c)
Matematică M_şt-nat
BAREM DE EVALUARE ŞI DE NOTARE
Model
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
• Pentru orice soluţie corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător.
• Nu se acordă fracţiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parţiale, în limitele
punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărţirea la zece a punctajului total acordat
pentru lucrare.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. 2 2
24
log 3 log 2 3
12
N = + = + = 3p
2
1 3 4 2= + = = 2p
2. ( ) 2 2 2 1 0f a a a a= ⇔ − + = 3p
1a = 2p
3. ( )22 2 2
2 2 2 2 2 4 4x x x x x x x− − = − ⇒ − − = − + 3p
3x = , care convine 2p
4. Mulțimea A are 10 elemente, deci sunt 10 cazuri posibile 2p
Numerele divizibile cu 9 din mulțimea A sunt 6!, 7!, 8!, 9! și 10!, deci sunt 5 cazuri
favorabile 2p
nr. cazuri favorabile 1
nr. cazuri posibile 2
p = = 1p
5. EB FC EA AB FD DC AB DC+ = + + + = +



 


 


 


 


 


 


 


 2p
( )2 2 2EB FC AB DC AB AB BC AB AC+ = + = + + = +



 


 


 


 


 


 


 


 


 3p
6. ( ) ( )2 2
sin cos sin cos 4sin cosx x x x x x+ − − = = 2p
2sin 2 2cos 2
2
x x
π 
= = − 
  , pentru orice număr real x 3p
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )
1 1 1 1
1 det 1
2 1 2 1
A A
 
− = ⇒ − = = 
− −  2p
( )1 1 1 2 3= ⋅ − ⋅ − = 3p
b)
( )( ) 2 21
det 1
1 1
x
A x x x
x
= = − +
− , pentru orice număr real x 3p
Cum ( )( )det 0A x ≠ pentru orice număr real x , obținem că matricea ( )A x este inversabilă
pentru orice număr real x 2p
c) ( ) ( )( ) 11 1 1 1
1 1
0 1 0 1
A A − −   
= ⇒ =   
    2p
Cum ( ) 4 1
2 1 1
A  
=  
 
și ( )( ) ( ) ( )( )
1 1
1 2 1X A A A
− −
= ⋅ ⋅ , obținem 3 3
1 0
X − 
=  
  3p
2.a) ( )2 0 2 0 2 2 0 1 2= ⋅ − + − + = 3p
2 2 2 2= − + + = 2p

Ministerul Educaţiei
Centrul Naţional de Politici și Evaluare în Educație
Probă scrisă la matematică M_şt-nat Model
Barem de evaluare şi de notare
Filiera teoretică, profilul real, specializarea ştiinţe ale naturii
Pagina 2 din 2
b) ( ) ( )2 2
2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 0x x x x x x− − − + + − + = ⇔ − + + = 3p
2 1x = − sau 2 2x = + 2p
c) 2 1e = + este elementul neutru al legii de compoziție „  ”, deci a este simetrizabil în
raport cu „  ” dacă și numai dacă există 'a , astfel încât ' ' 2 1a a a a= = +  2p
( ) ( )' 2 ' 1 2 2 1 ' 1 2 ' 0aa a a aa a a− + − + = + ⇔ + − + = deci, dacă a și 'a sunt numere
raționale, obținem ' 0a a+ = și ' 1aa = − , deci 1a = − sau 1a = , care convin 3p
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
1.a) ( ) ( )( )2
2
1'
ln 1 1 2
1
f x x x x
x
′ = − + = − ⋅ =
+ 3p
( )22
2 2
12 1
1 1
xx x
x x
−− +
= =
+ + , ( )0,x ∈ +∞ 2p
b) Tangenta la graficul funcției f în punctul A este paralelă cu dreapta de ecuație 1 1
5
y x= + ,
deci ( ) 1
' 5
f n =
3p
( )2 2 2
5 1 1 2 5 2 0n n n n− = + ⇔ − + = și, cum n este număr natural nenul, obținem 2n = 2p
c) ( )' 0f x > , pentru orice ( )0,1x f∈ ⇒ strict crescătoare pe ( )0,1 , ( )' 0f x > , pentru orice
( )1,x f∈ +∞ ⇒ strict crescătoare pe ( )1, +∞ și, cum f este continuă în 1x = , obținem că
f este strict crescătoare pe ( )0, +∞ , deci injectivă
2p
Cum ( )
0
lim 0
x
f x
→
= , ( )lim
x
f x
→+∞
= +∞ și f este continuă și strict crescătoare pe ( )0, +∞ ,
obținem că f este surjectivă, deci bijectivă 3p
2.a)
( )2
3
1 1
2ln 1 ln 1
e e ex
x f x dx dx x
xx
 
+ = = = 
 
∫ ∫ 3p
ln ln1 1e= − = 2p
b)
( ) ( ) ( ) ( )
5 5
2 2 2 2
1 1
51 1'3 3 3 3
2 2 1
x f x dx x f x dx F x⋅ + = + ⋅ + = + =∫ ∫ 3p
1 ln 8 ln 4 5ln 2
2 64 16 128
 
= − = − 
  2p
c)
( ) ( )2 2 2 2 2 22 ln lnln ln 3
2 2 2
e e
e e
e e ex x
x F x dx dx
x e
−
= = = =∫ ∫ 3p
2 1 3
2 2
a − = , de unde obținem 2a = − sau 2a = 2p